CHAPITRE V. — GÉNÉRATIONS DIVERSES DES SERIES TERNAIRES
éléments cuspidaux, les solutions des équations
àfi Ofi
en nombre
^1^2(3^1— î)— piPï(3q\ — 4 <7i + n ;
les solutions des équations
dA2 ^X3 dX3 dX2
(?) X1=o, /i=o, /2=o, JL__-^=0)
en nombre
'-/'! ^2 +/>i/>2( 4^1 — 2^2 — 4)-H/>i5ri:
les solutions des équations
(y) X3=o, /i = o, /2 = o, <fi=o,
en nombre
de plus, on a supprimé comme solutions des espèces (a) et ([3) les solutions des équations
en nombre
p\qi — p\Pi{i-qi— 2),
et, par suite, il faudra les considérer à nouveau; enfin on a supprimé comme solutions des espèces (fî) et (y) les solutions des équations
(e) Xi = o, X3=o, /i=-o, fî=o,
en nombre p{p2, et il faudra, par suite, les reprendre.
Finalement, en appelant N, A, B, C, D, E les six nombres que nous venons de calculer, le nombre cherché des éléments stationnâmes de g est
N — ocA — PB — fG + SD + sE,
a, [j, y, o, s désignant certains entiers positifs.
La forme symétrique du résultat par rapport aux pi et qi, la connaissance de certains cas particuliers et, au surplus, une étude directe donnent sans peine
et par suite, le nombre cherché est
3pi<?*(q\-*-q*— 3 )-î-/>i/?2(3^ï — 127, <72 — 3ql — 18 y, — l8gr,-+- i5)
Pour déterminer les éléments doubles ordinaires de la série g, on considérera les équations
el l'on écrira qu'elles ont deux solutions communes en < /. . ce que nous savons faire ; le nombre des solutions correspondantes est
ElSl \rl['h i".v s7>7: \9\-*9i + 9]
-^-fi/'d''/ "»7i7-j -" -'"/iV. ' ' 7 f 7 : (,7i7'
+ ^^[91 \'i\'h -\'h'l\ \9ii — *9i9i ['"h 9]:
mais il faul supprimer d'abord les solutions qui correspondenl au cas où les équations en /
d'une pari el
d'autre part, oui en même temps une- solution commune; le résultant des premières esl de degré
par rapporl aux a . el contient en facteur le résultant des secondes de degré p\q2-\-piqù donc en tout nous avons ainsi un nombre de solutions égal à
p\q\(iq\ </: - 3 -/',/'27i7-' ;7' - '7- - '' /-i y'f < q\ -+- 27, — 3).
Il faut supprimer encore les solutions qui correspondent au cas où les équations en 1 /
/i = o, /s=o, Xi = o,
ont deux solutions communes, et qui sont en nombre
^î(?»-i)+/'i^i-0(î»-0+ ^(fi-O-
De plus, il faut reprendre, comme ayant été supprimées en qui-
