CHAPITRE V. — GÉNÉRATIONS DIVERSES DES SÉRIES TERNAIRES

lité de solutions (a) et de solutions ([3), les solutions qui correspondent au cas où les séries en (À), fs = o et f>~ o, ayant un élément commun pour lequel A, = o, sont véritablement tangentes en cet élément ; ces solutions sont en nombre

(ï) plqî-+-piPî(iqi-*- -i-q-i— ï)+-p\qù

enfin, il faut supprimer les solutions qui correspondent aux éléments cuspidaux, et déterminées précédemment. On trouve finalement pour le nombre cherché

I-A-^L [4^? £2 -M q\ q\ -t- q\ — \t.q% ?2— 6^1 — ia?i— q<i H- 3o]

-*-PiP*[*q* q-i + $q\ q\ ■+■ iq\q\ — <àq\ q%— oqi q\

— 6^1 — a qiÇî — 6 ql -h 3o q i -h 3o q 2 — a4] , lll [q\+ $q\q ■!->!- \q\q\ — ^q\— ^qxq-1— qY— \iq<>.^- 3o].

199. On peut aussi envisager la série z> obtenue en éliminant les (x) entre les conditions qui expriment quei/"l = o ety2=o sont tangentes; c'est le lieu des éléments où se touchent les séries/*! = o ei f>= o en (a). Elle est de degré

Piqï+PiPiizqi-^ iq-i— ^)-^-p\qu

comme on le voit en éliminant les (x) entre- ft = o, /a = o, <pj = o, et supprimant le facteur ")fi,',:.

Cette série cp n'a pas d'éléments cuspidaux en général ; elle a des éléments doubles dont le nombre est facile à déterminer en remarquant que g et cp sont de même genre. On peut aussi les déterminer directement de la façon suivante : on éliminera les (x) entre les équations

le résultant est de la forme »'}'/, à désignant le résultant de

àj\ __ ■ 4A Ml

dl, " °' àl2 ~ °' dl3 ~ °'

et y celui des équations

On évaluera le nombre de fois que les premières équations ont

>l4 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

deux solutions communes en (x), et de ce nombre, divisé par 2, on retranchera les nombres d'éléments doubles pour <l et y, et les nombres d'éléments communs aux séries o, ']>, y prises deux à deux; enfin on ajoutera, comme ayant été supprimés à tort, les nombres d'éléments communs à ces mêmes séries deux à deux qui correspondent à un même système de valeurs des (x).

200. On a des résultats analogues en partant des deux équations

/, . ar8; '/.,. X,; \iu [a») = o,

/, fi, /.. a . : ) 1 . Xs; ;/,. [x, = o

des de-j-ré^ />, et />,. y, et r/j. /•, .'t /•., par rapport aux (./'), aux Çk) et aux (u. , et écrivant que ces deux équations en Çk) et (u.) ont une solution commune double.

L'enveloppe ainsi définie esl du degré

/'l|'/l''l ■/:': ' V ' I — ' ' ":"l\— Ul

/' •! '/1 ''1 7 ■ 1 1 ■ 7i< ri — 1 1 7./V Y-: 1 l]« Nous u insisterons pas davantage sur ces généralisations.-