CHAPITRE VI

l'on pose

LA FORME BILINEAIRE ET L HOMOGRAPHIE.

au aJ2 «13 ;t

e(ly)=

rt-21 ^'22 ^23 ?2

Jl J'2 JK3 O

g = o est l'équation de (-/]) correspondant à (ç), ou de (x) correspondant à (y), de sorte que

«ll'Çl-4-a«Çs-^.«31$8 ai2?l"+- «22^2— ^32Ç3 *13ÎI-T- a23?2-i- «33^3

^Iljl-i- «12^2-^ «13JK3 a21</i-1- a22>X2-+- X23J'3 Ots^! H- a32^2 "+" «33JK3

On a aussi

M f,î ra o

Le système/, (.r), (Ç), (y), (/,) a comme invariants multiples les cinq quantités/, g", cl, (£j.r), (r, |y).

205. Considérons le cas où Ton a d=o, sans que tous les mineurs a/y- de c? soient tous nuls. Par extension, on dit alors que f= o définit une homographie simplement singulière.

La forme g est ici le produit de deux facteurs, soit (b | ç)(y \y), à cause des propriétés des a/y. Par suite, on définit de cette façon deux éléments particuliers des espaces X et Y, soit (6) et (y) : à (x) quelconque correspond (y) appartenant à (y), et à (b) correspond (y) quelconque; à (y) quelconque correspond (6), et à (y) appartenant à (y) correspond une infinité simple d'éléments (x) alignés avec (b); à (ç) quelconque correspond (y), et à (£) contenant (b) correspond une infinité simple d'éléments (y,) alignés avec (y); à (r,) quelconque correspond (ç) contenant (6), et à (y) correspond (£) quelconque.

Si les coefficients a/y sont tous nuls, de sorte que la forme g est nulle identiquement, l'homographie est doublement singulière, /"est le produit de deux facteurs ( [j|x)(&|r|), et les particularités qui se présentent s'énoncent immédiatement.

Dans tous les cas, les espaces X et Y étant distincts, on peut

réduire y* à la forme canonique

de sorte que

d = a, | «22 «33, Ar = «22«33Çl Vl — «33 « 1 1 \ l)' -1 ~ «ll«22: .."'