CHAPITRE VI. — LA FORME BILIXEAIRE ET L HOMOGRAPHIE. il I

où l'on a fait

i — an-+- «22 -T- «33, j = «ii-+- «22-!- a33.

Les coefficients i ety sont évidemment comme cl des invariants proprement dits, d'ordre zéro, car les racines de l'équation en p sont manifestement invariantes, <p(p) étant l'invariant cl relatif à/— ?k.

On arriverait aux mêmes résultats par les équations

(an — a)xt-h ancc.2-h ul3x3 = o,

qui conduisent à

a3 — y'a2 -t- ich — dï = o,

de sorte que o? = cl.

De même encore, les éléments doubles de seconde espèce sont déterminés par les équations

ou bien

(an- ff)Éi + a2i ^2+ «31^ = 0,

Nous avons ainsi trouvé huit invariants y, g, h, Â, y, «, y, r/ qui forment un système complet : sept d'entre eux seulement sont indépendants, et la relation qui les lie sera indiquée plus loin.

207. Nous allons retrouver les invariants i et y d'une autre façon qui nous donnera en même temps de nouvelles propositions.

Considérons f comme fonction des (£) et g comme fonction des (x), ou inversement; l'invariant K (/, g) défini au n° 150 est alors clh ; et en effet la forme g correspond à l'homographie inverse de celle qui est définie par y.

Considérons maintenant f comme fonction des (x) et des (£) successivement; il en résulte un invariant K que l'on vérifie sans peine être égal à

c'est aussi

(«,!#!+ ajt^-t" «3l3?3)(«llSl-+-«12?2-!- «13S3) + . • •)