LIVRE II

et, par suite, on voit que if — jh -h g = o est l'équation de (z) de Y, correspondant à (y) de X, ( r) correspondant lui-même dans Y à (x) de X; c'est aussi l'équation de (*) appartenant à X, correspondant à (r() de Y, (r,) correspondant lui-même dans X à(£)deY.

Dans le premier cas, les équations de (x) et (y) étant h = o et y=o, on voit que les éléments (.r), ( r ), (c) appartiennent à un même faisceau, si l'on a /. =o, et seulement alors; dans le second cas, on voit de même que i : . r\ . 1 appartiennent à un même faisceau si l'on a y = o, et seulement alors.

En appliquant le même procédé à g} <>n trouve de même que la quantité

(a,,. r, — a12.r.2~ an-r.-*," «n£|-t- «si£r

esl égale à

l'équation / /* - idh-\ df o s'interprétera comme plus haut. En vertu des relations que nous venons d'obtenir, on trouve tout de suite, par multiplication de deua déterminants,

ij-jh - dh f

dh /- • idh df §

c'est la relation qui existe entre les lmii invariants du système.

Les invariants absolus géométriques proprement dits dépendent des rapports des racines des équations en p ou cr, c'est-à-dire encore des rapport^ des quantités /''■. /; et <l-.

ï208. Pour aller (dus loin, nous allons examiner successivement les divers cas qui se présentent quand on fait les différentes hypothèses possibles sur les racine> p( . p2, P3 de l'équation en p. Nous supposons d'.idleui- que lliomographie n'est pas singulière, et qu elle d est pas définie par la substitution identique.

T. — U équation en p a trois racines distinctes. 11 existe alors trois éléments doubles de cbaque espèce n'appartenant pas à un même faisceau. Si les (x) doubles sont pris pour