CHAPITRE VI. — LA FORME BILINÉAIRE ET ^HOMOGRAPHIE

éléments fondamentaux, on a

g = a22«33^lll^- «33«11^2?2— «11«22^3?3,

l = an-)- «22"*- «33j 7 = «22«33 + «33«ll "+~ «11 «22) ^ = «1 1 «22 «33»

et en appelant A le produit non nul (a-22- — a33) («33— «ti)(<7u — «22) >

Les éléments doubles de seconde espèce sont donc les Q/, ainsi qu'il était évident; /r = o est leur équation, et de même y=o est l'équation des éléments doubles de première espèce.

Soient (x) et (y) deux éléments correspondants des séries X et Y; leur rapport anharmonique avec les éléments doubles Q2

et û-i est j ■> et par suite a la valeur constante - — : la même xzy.2 ' a33

chose a lieu pour les autres éléments doubles et aussi pour les éléments de seconde espèce. Si (z) est commun à Q, et (xy), le rapport anharmonique de (.r) et (z) avec 02 et 03 est de même constant et facile à calculer. On a ainsi obtenu la signification géométrique des invariants absolus.

Deux éléments correspondants peuvent être considérés comme deux espaces à une dimension homographiques : il est clair qu'ils sont en homologie si l'un d'eux contient un élément double appartenant nécessairement à l'autre, et dans ce cas seulement.

II. — p, est racine simple ; on a p2 = p3, et cette racine double n annule pas les mineurs du déterminant '^(0).

Ce cas est limite du précédent. On peut réduire f à la forme simple

/= «ll^l£l-f- («22^2— «32^3)b— «33^3Ç3,

avec

O, et 02, Q( et 03 sont doubles; 0( et Qt correspondent àp,, Oo et Q3 correspondent à la racine double p2.

III. — o, est racine triple et n annule pas les mineurs du déterminant co(p).

C'est encore un cas limite du précédent. A p, correspond un élément double de chaque espèce, et ces éléments se contiennent;

en les prenant pour 02 et Q3, on a

f = («1,^1+ «31^3) îl — («12 2*1 "H «22^2-+- «32-^3 )?2— «33 #3 b»

avec

«Il = «22 = «33' «12«:l "•

[V. — p, es/ racine simple; on a p2=p3, e/ ce/te racine double annule les mineurs du déterminant <p(p).

Dans ce cas, à p, correspond un élément double de chaque espèce; ces éléments ne se contiennent pas, et peuvent élre pris pour O, et Q, : à la racine double correspondent tous les éléments (pie contiennent Q, et O,, comme doubles.

La forme canonique du c;is I subsiste, ;«\ ce <v2o= a.ri, de sorte que /. «•! y sonl nuls identiquement, ce qui n'arrive pas dans les cas précédents.

Deux éléments correspondants de première <>ii seconde espèce appartiennent avec <>, ou il, à un même faisceau; si (x) et (y)

sonl deux tels éléments, el si (a) est c nun à û, et à (xy), le

rapporl anharmonique (xyOtz) a une valeur constante. On dit, dans ce cas, qu'il \ .1 homologie.

\ . p, est racine triple et annule les mineurs du déterminant o{ p).

C'esl ici un cas limite de l'homologie. A p( correspondent une infinité d'éléments doubles de chaque espèce, situés sur deux éléments < >j el il., qui se contiennent. < m a alors

avec