CHAPITRE VI. — LA FORME BILINÉAIRE ET 1,'llOMOGRAPIIIE

l'on ait ati-\- a22 = o; clans le cas V, il ne peut y avoir involution, l'homographie étant supposée non singulière.

Dans le cas unique de l'involution, on voit immédiatement que, sur chaque élément double, il y a involution déterminée par les éléments correspondants; le rapport anliarmonique tel que (xyQ{ z) envisagé précédemment est égal à — i .

210. Cherchons, dans le cas général 1, par quelles transformations on peut passer de la forme y à la forme canonique

A la racine p/ de l'équation tp(p) = o, correspond l'élément double 0^ dont l'équation est déterminée par

tu)

si ( )) et (z) sont deux éléments quelconques, les trois dernières relations peuvent être remplacées par

f{y,lU))-?iau)\y) = o, /(*,5w)-p/(£(fll*) -o,

et l'équation de 0} est par suite

OC \ OC o 3?;j

«ll/l + «21.72-+- «31JK3— ?*.7l •• •• «11 -1 + «21 ^2"+" «31-23 — p/3l

c'est-à-dire, en posant (yz)i= v\i,

Nous pouvons donc poser, (t|) étant quelconque,

»'j = Pi A v, *) ) + 'g(x, V ) + P/( pi — 0 ( "0 1 *) ; le déterminant de cette substitution, pour passer des (jr')aux (#),

— (p2— ps)(ps— pi)(pi — .pOxd);

est égal à

un calcul facile donne ensuite en partant des (#,), posant f/=(|-7i)t-, An. — I.

r>.l6 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

et appelant 'l le jacobien par rapport aux (x) des formes f(x, r\ , g(x, f\) et (l\x),

- ;,, f[ t. ■(. I - piff(t, ï] il

(p« py)(p/— ?*)X(1)

^/ el -/, désignant les racines de cp(p i autres que p/.

Quant aux coefficients, on a a'n= p*.

( )n obtiendrail des formules analogues en parlant îles équations des éléments doubles de première espèce O'-.

211. Si un élémenl a:), apparlenanl à \, décril une série d'équation / />,■ o, l'élément correspondant i ri de 1 décrit une série de même degré dont l'équation esl

De même, si (£) appartenant à X décril une série \: :[âçic=o, l'élémenl correspondant i r\ i de ^ décril une série de même degré doni L'équation esl

i > 1 1 peul aussi dan- le premier cas mv isager la série formée par les éléments (xy . définis par deux éléments correspondants, et dans le second cas, la série formée par les éléments (çvj).

Si ! xy | a pour coordonnées i Ç i, on a i Ç|x) o, f(x, Ç) = = o; nu peut en tirer les (./• . el portant dans l'équation ê = o on a l'équation de la série des > ./;r k de degré >/>.

De même dans le second cas, si (ç'/j) a pour coordonnées : . on a (%\z) =o, g(z, £) -o.

Dans le cas général 1, les formules se simplifient.

( y) décrit la série

l\ alxxu ".,.,.,■,. ,,.. r,} o; (y,) décrit la série

Xi aMaS3^i, az%an \A. <tu a2î \s) = o; (Ç) décril la série

/[(rt22— rt;j3 iÇjÇs» («33— «iOÇjÇi, l «i! a25 |Çi£î ] = o; (r-) décrit la série À [ «n («22 — «3B)3i*sj ŒS2(a33 — an )335|, a33(alt — a22 )*i22] = o.