CHAPITRE VI. - - LA FORME BILINÉAIRE ET l' HOMOGRAPHIE
212. Ces formules simples peuvent donner lieu à de nombreuses applications.
Cherchons, par exemple, si la série des (y) peut être identique à celle des (x). Si le degré de / = o est i, on retrouve ainsi les éléments doubles de seconde espèce.
Si le degré de l = o est supérieur à i , il est clair que si les au restent arbitraires, le problème est impossible. Mais, si l'on a par exemple a2n = rt22rt33, toutes les séries dont les équations seront de la forme <?(x2{, ^2^3) = ° répondront à la question : elles se décomposent en séries quadratiques telles que x2= 2\x.2x3^ \ étant une constante arbitraire.
De même, si l'on prend pour aii} a22, «33 les trois racines cubiques de l'unité, les séries d'équations telles que
y(ccl, x\, x\, x{x*xi) = o ou bien
(f (x\ X-2, X\X$, x\Xx) = O,
ou encore
o(x1xl, x^xl, xèx\ ) = o
répondront à la question.
Ce sont là les types des solutions.
Les invariants dont l'évanouissement exprime ces faits sont faciles à calculer.
Considérons maintenant la suite d'éléments (x{0)), (x(,)), (#(2j), . . . , tels que (x{,l)) corresponde dans Y à {x{n~{)) de X, et dans X à (#<"+1>) de Y. Les équations de (x^), (x{% • • • 1 (x{a)), sont respectivement
aï,^f|+ a'i^x^-v- a'1 3 x3 £3 = o,
si les (x) sont les coordonnées de (x(0)) et si l'on emploie les formules canoniques. Si en général /„ est le premier membre de l'équation de {x{n)), on a la relation de récurrence
j a+\ = if h — J.fn-i ■+- dfn-i ; d'ailleurs on a
d'où
On pourrait de même prolonger la suite dans l'autre sens, avec des indices négatifs, de sorte que
df-t= - #/, = jg + df-idh
On peut chercher la condition pour qu'un certain nombre des éléments xln\ de rang donné, appartiennent à une série de degré donné. On trouve ainsi des conditions invariantes faciles à calculer. \iu>i / o exprime que les éléments (.r(0)), (.r(,)),(.r(:,))soni alignés; y =-o exprime le même fait pour (j"j), i ./ - i, i ./• : ; la condition pour que six éléments consécutifs appartiennent à une même série quadral ique esl /'■ d — Ji== Oj ... : cette série quadratique se reproduit alors elle-même par l'homographie; etc.
On verrait encore aisément que la condition i o exprime qu'il existe une infinité de suites triples proprement dites | xyz I telles que les éléments (a i, (y), (s) appartenant à \ . leurs correspondants dans ^ appartiennent respectivement aux éléments d< seconde espèce : . '.■'"-' de la même suite; et aussi qu'il existe une infinité de suites triples proprement dites i h^l \ telles que les éléments (Ç), (v. ,' appartenant ;'i Y, leurs correspondants dans \ appartiennent respectivement aux éléments de première espèce (x), (y), (z) de la même suite. I);ms le premier cas i cl (z) par exemple sont arbitraires; dans le second (y,) et (X) sont arbitraires. Si i n'est pas nul, il n existe aucune suite triple proprement dite répondant à l'une des conditions précédemment indiquées.
La condition j = o s'interprète d'une façon analogue, le rôle des espaces \ et ^ étant interverti.
La démonstration de ces propriétés est en tout semblable à celle que nous donnerons plus loin pour des propositions analogues relatives à deux séries quadratiques.
