La forme quadratique
f = ax> = anx\ -+- alix\-\- ai3x\ -+- 7.anx2xs-{- 2ailxixl-^ lai^XiX^
ne dépend que de six coefficients, et a cependant un invariant proprement dit, son discriminant ou hessien
«Il «12 «13 «12 «22 «23 «13 «23 «33
ctij et ctji ayant la même signification.
Si d n'est pas nul, f=o est une série quadratique proprement dite qui n'a aucune singularité; sa classe est 2, comme son degré. Si d est nul, f se décompose en un produit de deux facteurs linéaires; et si en outre tous les mineurs de d sont nuls, ces deux facteurs sont proportionnels, de sorte que y est un carré parfait.
L'élément (ç) est tangent à f, si l'on a, en faisant/^, les conditions
Si u u '
d'où la relation
■1 dx;
Çl
El
fc Ç2
La forme équivalente à /', ou la forme tangentielle de f, quand d
n'est pas nul, est donc
O = Kj:,,
en posant
<*23 = «12 «13 — «Il «23-
de sorte que les a/y sont les mineurs de d.
Le système formé par/, les (a:) et les (;) admet les quatre invariants y, o, rf et i . ; ./• .
On a
ai i a
Il -Ml
lé hessien de a es! 8 '/- ; la forme tangentielle de 9, obtenue en partanl de çp comme çp en partant de /', esi/d, de sorte que
fd
•il 2-'2 a2! '' 1
J"l ./ . Tf O
Si rfesl nul sans que lous ses mineurs le soient, fse décomposi en un produit de facteurs linéaires distincts
Los éléments i /, i et Ç \ ont en co an un élément | y >, double
pour/', qui vérifie les trois équations fyi= o, alors compatibles.
En faisant r, y,'« >,-• on voit facilement que y - — - ( y \ -', de
sorte que s est un carré parfait, et » = o représente deux fois l'élément double (,)')•
Si 1rs mineurs de </ sont lous nuls, la forme - est nulle identiquement ; on a
./' {rt\x)*.
Les fx sont proportionnels à (r, | ./• ) ; on a
«*y=(l |#)(l I.'' • ce qui détermine (y, x i.
iil i. Si l'on adjoint à la forme / les variables (.r) et (y), on a les invariants ax*, >/r:, d, et la polaire aTY.
D'après les propriétés générales des polaires, aX) = o est une
