CHAPITRE VII. — LA SÉRIE QUADRATIQUE. 23l
série linéaire qui est le lieu des éléments (x) conjugués harmoniques de l'élément (y) par rapport aux éléments communs à / et à (xy).
La symétrie de l'équation axy = o par rapport aux [x) et aux (y) montre que, si (.r) appartient à la polaire de (y), (y) appartient inversement à la polaire de (,r); (x) et (y) sont alors dits conjugués par rapport à f.
Si quatre éléments (y), (z), (^), (u) appartiennent à un même faisceau, il en est de même de leurs polaires, et le rapport anharmonique de celles-ci est égal au rapport anharmonique (j'Ztu)', en effet, les coordonnées des éléments (x) et celles de leurs polaires sont liées par les formules d'une substitution linéaire, de sorte qu'une homographie particulière est ainsi définie.
Si (ï)) est la polaire de (y) par rapport à /', (y) est aussi la polaire de (ri) par rapport à z> (si d n'est pas nul), comme le montre un calcul facile. Nous dirons indifféremment, suivant la commodité du langage, que (y) et (rj) sont pôle et polaire par rapport à f ou o.
En supposant toujours d non nul, [y) n'appartient à sa polaire (r,) que s'il appartient à f, et alors (rj) est l'élément tangent kf en (y). On voit aussi que (rt) contient les éléments de contact des éléments tangents menés à /'par (y); que si (y), (.s), (t) appartiennent à un même faisceau, ainsi que (y), (z'), ( t'), et si (z), (l)) (z'), (t1) appartiennent à /, (r,) contient l'élément commun à (zz') cl (tt'); etc. Les mêmes choses ont lieu par rapport à a.
Si <i=o sans que ses mineurs soient tous nuls, et si (j ) est alors l'élément double de/*, la polaire de (z) est l'élément conjugué harmonique de (}'z) par rapport aux éléments de seconde espèce qui constituent/*; la polaire de (y) est indéterminée. Inversement, on en déduit la position du pôle d'un élément (£).
Si /* est carré parfait, la polaire de (z) est l'élément représenté deux fois par/"; si (z) appartient à/', sa polaire est indéterminée.
Comme application, on vérifiera sans peine que si l'on considère une suite triple (y), (z), (t), et la suite formée par leurs polaires (t,), (Ç), (9), ces deux suites sont homologiques, c'està-dire que les éléments [ y(ÇB)], [z(Gtj)], [£(r,Ç)] sont alignés ainsi que les éléments [rj(^^)], [s(O0L L^O'-3)] "■ s' d'ailleurs les premiers sont alignés sur (a-) et les seconds sur (s), (s) et (<r) sont pôle et polaire par rapport à/".
î2 lo. Nous n'insisterons pas sur les invariants du système formé par y' et un nombre quelconque de variables (x) ou (£) : ils sont tous de types déjà connus. Nous signalerons seulement quelques identités souvent utiles.
On a d'abord
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