CHAPITRE VII. — LA SERIE QUADRATIQUE

relation est

Dans le cas général, avec les mêmes notations que précédemment, on aurait

g[a0l] fXl-4- «i( À| |JL2-f- A2^l) + «2^2^-2,

b0l, ni+ biCkiii2-i- X2(Jii) -1- &2^2f*2> . . .] = o.

Réciproquement, considérons une forme aux deux systèmes de variables binaires (X) et (u.), de même degré p par rapport à ces variables, et symétrique par rapport à ces variables : égalée à zéro, elle définit, si l'on veut, une série ternaire de première espèce de degré p, dont l'équation est obtenue, par exemple, dans le cas des formules canoniques, en remplaçant A, u..> + X2 >x, , Xijji^, X2u.2 par X\, x-2, xA.

A ce cas on peut ramener celui plus général où l'on donne une forme non symétrique par rapport aux (X) et aux (u.), des degrés p1 et p" par rapport à ces variables, soilg'Çk, u.) : nous supposons cette forme indécomposable, bien entendu. Alors on envisagera le produit g1 (X, rO^'d*-? ^)» et ^on définira ainsi comme tout à l'beure une Série ternaire de degré // + //.

C'est ainsi que l'équation de la série f elle-même est (Au.) = o.

Toutes les fois que la série ternaire g sera indécomposable, la forme correspondante en (a) et (ut.) sera elle-même indécomposable, ou bien sera le produit de deux facteurs indécomposables, se transformant l'un dans l'autre par le changement des (X) en (u.).

228. Nous allons étudier quelques-unes des propriétés des séries définies par une équation £"(a, u.)= o, symétrique, de même degré/? par rapport aux (X) et aux (u.) : nous aurons toujours à supposer que g est indécomposable, ou bien que g se décompose en deux facteurs tels que g' '(X, u.), g'{[J-, X), le premier étant des degrés p' et p" par rapport aux (X) et auN (u).

Les éléments communs à la série quadratique /et à la série g sont déterminés par l'équation ,.?'( A, X) = o; ils sont en nombre ?.p : mais, dans le second cas, ils sont distincts en nombre/? au plus, puisqu'il suffit d'envisager l'équation £'(X, X) = o. Par suite, dans le second cas, nous pouvons dire d'une façon générale que la série est/? fois tangente à la série/'.

An. — I. 16

Considérons maintenant les deux équations

àg dg

qui admettent -ip(p — 1) solutions (X), (u). En général, si (X), (a) est un tel système de solutions, l'élément tangent à/" en (X) a deux éléments communs confondu^ avec g : il est tangent à g} ou bien l'élément défini par (X), (ut.) est double pour g-. Ce dernier cas se présentera si les équations

àg dg

■ - = O, -rr— = O.

sont aussi vérifiées par ce système de solutions, qui sera alors double pour les équations primitives, ainsi que le système obtenu en permutant les (a) et les (ul); si toutefois on avait (Xu) = o, la série i- sérail seulement tangente à y en (X). Tout ceci est conforme aux formules de Plùcker, puisque la classe de g est en général p(p — i), et se trouve diminuée de deux unités pour un élément double.

On a ainsi le moyen de déterminer les éléments tangents communs à /'et à g, et le^ éléments doubles de g.

En particulier dans le second < -a-, où g =^/(X, u)i;'('x. X), les équations à considérer deviennent

— djS ~ *X> + d^~ ^(X'^ = 0;

elles admettent, puisqu'elles expriment que le discriminant de g par rapport aux (fi.) est nul :

i° Les solutions des équations g'(X, ix) = o, g'(u, X) = o, en nombre total p l-r p -• comptées chacune deux fois;

2° Les solutions de> systèmes

df'Ox ,*) =0 - q, tO =o el

en nombre total a//( '//'— i) -+- 2p"(p'-~ i).