La forme bilinéaire

g = «u À! U., -+- «12 X] [JL2 -f- «il X« fJ-1 -f" «22^-2 [J-2

définit en général une série quadratique bitangente à y : si l'on ;t a, 2 — «2» — °> e'le définit une série linéaire.

L'équation g = o établit une homographie entre les éléments de la série f considérée comme un espace à une dimension : on peut lui appliquer la théorie développée aux nos 74 et suivants. La série g devient linéaire quand il y a involution. Les éléments communs à f et à g sont les éléments doubles de l'homographie.

Si (x) est un élément quelconque de g défini par (X) et (a), le rapport anharmonique déterminé par (à), (u.) et les éléments doubles est constant} dans le cas de l'involution, c'est un rapport harmonique, de valeur — 1. Dans le cas général, les deux éléments communs à g et à un élément (£) tangent à f en (a) s'obtiennent séparément, en donnant dans g = o, soit aux ().), soit aux (y.), les valeurs (a).

Dans le cas de la représentation canonique, l'équation de g est

^i-f- rtn^2+ «2*-r3 ) — ) Kx\ — kx%xz) = 0;

son discriminant est - (ai2 — «21 ) ' (a\ 1 «22 — «12^21 )•

On ferait facilement le même calcul dans le cas le plus général.

Il est à peine besoin d'ajouter que, comme toujours, tout ce qui précède peut être repris en échangeant l'espèce des éléments.

Une forme g linéo-quadratique définit de la même façon une série cubique à élément double triplement tangente à y'; les élé-

l\'\ LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

menls communs à g et à un élément (;) tangent à / se séparent en deux groupes de un et deux.

De même, une forme doublement quadratique définit, en général, une série biquadratique à deux éléments doubles quatre fois tangente à f : les éléments communs à g et à un élément | ; i tangent àf se séparent en deux groupes de deux.

Une forme doublement quadratique symétrique définit une série quadratique sans relation particulière a\r<- /'. Si l'on emploie les formules canoniques, el -i

g= y.,//.} jxf — 2aiXiHt(Xi ;/. h ) .;i, i

-4- « HX|{iî)-f-4*3XiX,(JLiJli -'ï,/,;j. '/ , |JLj — / .., [X, ) -r- Xs \\ -i1 .

l'équation d<- la série g esl

jtj.rf-4- flt0ar|-t- «5a t(a«i — «i 1 •'-.■''■' 1 ■ ''J\r\r: <>•

el son discriminant esl, en gardanl les notations des nM [06 el

... . . / /■ suivants, I invariant / ■, H —

230. ()ii peut appliquer ce qui précédée la résolution du problème général suivant : si (v) esl un élément quelconque de /. el si ^(a. a) = o, h 1. 'i. 0 définissenl deux séries ternaires, l'élémenl tangenl à/en (v)a en commun avec g el // deux élé ments 1 y) el - ; si l'on considère les nouveaux éléments tangents à f contenant (y) el (2), ils onl «mi connu un un élément qui décrit une série F que l'on demande d'étudier. Il esl clair que si l'on considère (.r) comme défini par - /. 1 <i (>x), il suffit, pour avoir la série des (.r), d'éliminer les (v) entre les deux équations

. X, v) = 0, h\ ;/, vi = o.

Si ces équations sonl symétriques d< :s degrés p el y. le résultan l esl <lc degré pq par rapport aux iai el aux (|x), en général non symétrique, de sorte que le lieu cherché est de degré >/"/■

Lorsque l'une tirs formes g el // esl décomposable en fadeur^ non symétriques, il est clair que le lieu se décompose en deux séries distinctes, el même en quatre séries distinctes lorsque g et h sont toutes deux décomposables.

Restant dans le cas général, les éléments communs à/ et à F sont déterminés par les équations £"(a, v) = 0, h\ a, v) = o; ce