CHAPITRE VII. — LA SÉRIE QUADR VTIQVli

sont les éléments de contacts des ipq éléments tangents kf contenant les éléments communs à g et h : en chacun de ces éléments les séries y et F sont tangentes.

On peut déterminer les éléments doubles de F, comme on l'a dit au n° 228, en cherchant le nombre des solutions communes aux équations

puisque, en éliminant les (V) entre les deux dernières, on trouve encore l'équation de la série F, les (!) et les (a) étant permutés. En supprimant les solutions déjà indiquées pour lesquelles les (X) coïncident avec les (a), les (v) avec les (v'j, on obtient ainsi %pq(pq — i) solutions donnant pq{pq — i) éléments doubles.

On a encore d'autres éléments doubles pour F obtenus en écrivant que les équations gÇk, v) = o, /*([*, v) = o ont deux racines (v) communes; un calcul analogue à celui du n° 187 fournit ainsi pq(p — ■ i)(q — i) nouveaux éléments doubles. Ceux-ci sont donc au total en nombre pq(zpq — P~fl)- La série F n'aura pas, en général, d'éléments cuspidaux et, par suite, sera de la classe 2pq(p -+- q — i).

Les éléments tangents communs kf et à F sont faciles à déterminer; ils sont en nombre 4p<](/> ■+- q — 0 et nous en connaissons déjà ipq qui comptent chacun deux fois. Les autres sont obtenus en écrivant : i° que g"(À, v) = o a une racine double en (v), ce qui arrive 2/j»(y> — i) fois, et alors, à chaque système (1) ainsi déterminé, correspondent q systèmes doubles (u); 2° que les équa-

/-\ \ àh( \x, v) dh( ix, v) lions o( y v) = o, — = o, — V = o ont une racine com-

mune, ce qui arrive 2pq(q — i) fois; 3° en répétant ce que nous venons de dire après interversion des lettres g et h.

On voit qu'il y a ip(p — i) éléments tangents communs kf et F, d'ordre q de multiplicité pour F, et de même iq[q — i) éléments d'ordre/? de multiplicité.

On peut supposer les séries g et h identiques. Dans ce cas, le résultant des équations gÇk, v) = o, g([J-, v) = o contient (Xu.)f en facteur et le quotient est symétrique; donc la série F est de degré p(p — i). Les éléments communs kf et à F sont obtenus en écrivant que g(^, v) = o a une racine double en (X) : ils sont

9 Jf) I.1VI1K II. — LA GÉOMÉTRIE TEBNA1BE.

faciles à définir géométriquement. Il en est de même des éléments

doubles en nombre - [p — i)2(/? — 2) et des élémenls tangents

communs avec /en nombre 2p(p — 1)(2/?' — 3).

De même, si l'on suppose g et // décomposables, et que Ton

étudie la partie de la sérieF fournie pur l'élimination des (v) entre

les éq initions

respeclivemenl «les degrés />' el />". 7' el 7". on trouvera une séné de degré p' q" ■+• p"q', autanl de lois tangente à/, el possédanl

éléments doubles, de sorte que sa classe esl ip'q'ip" l-y"--')-

Si déplus les fonctions gf el A'sonl identiques, on obtient alors

une série de degré p"\ /> 1 1, ne Louchanl pas/en général, admet-

i.ini ' (p' — i)(p" 1 p' p" p /■ 1 éléments doubles, el de asse I /' — 1){'A /' /' /' ' /'

23 I . Nous ne ferons que signaler, en terminant, l'extension que l'on peut donner aux recherches qui viennenl de mois occuper. Parmi les applications que l'on en peut faire, citons d'abord le> théorèmes bien connus relatifs aux suites circonscrites à une série quadratique / 'et donl tous les éléments de première espèce, sauf un. sont situés sur des éléments Gxesde seconde espèce ou sur des séries quadratiques li\es bilangentes à f\ puis les propositions relatives aux séries qui conliennenl tous les éléments de première espèce déterminés par le- éléments de seconde espèce d'une suite circonscrite à /. etc.

Nous nous arrêterons seulement sur le cas particulier suivant. Revenons au problème général du n" ï230, el supposons que les séries g el h soient des séries quadratiques telles que l'équation de F obtenue par élimination des (v) entre iiC).. v) = o. /*(p., v) = o, soit symétrique en ()>) et (p.). Dans ce cas chaque élément de la série F est obtenu doux fois; cette série est du quatrième degré seulement, ri n'est pas tangente à f : elle a avec / huit éléments communs qui se déterminent immédiatement.