CHAPITRE VII. — LA SERIE QUADRATIQUE

En écrivant que les équations £'()•, v) = o, /«([Jt, v) = o ont deux racines communes (v), on obtient encore pour F quatre éléments doubles : d'où l'on déduit que F se décompose en deux séries quadratiques F, et F2. Si maintenant l'on étudie les éléments tangents communs à F et à /*, on voit tout de suite que ce qui précède ne peut subsister qu'en supposant que f, g, h ont quatre éléments tangents communs, qui sont eux-mêmes tangents à F, et Fo.

En écrivant alors que l'on a à la fois £*()>, v) = o, — ~ — - = o,

-£- =o, ou bien a la fois —^- = o, -^ =o,

A(u, v) = o, on détermine non pas des éléments tangents communs à /" et à F, comme plus haut, mais les quatre éléments doubles de F, c'est-à-dire les quatre éléments communs à F, et F2. En rapprochant cette détermination de ces éléments de celle qui a été indiquée antérieurement, on obtient une proposition intéressante, facile à énoncer.

Réciproquement, lorsque les séries/*, g, h ont quatre éléments tangents communs, la décomposition étudiée ci-dessus aura lieu. On le voit aisément de la façon suivante. Prenons s sous la forme canonique des nos 106 et 107 : ceci revient à écrire que l'élément fondamental O, a même polaire par rapport à / et g) d'après l'hypothèse, il aura même polaire aussi par rapport à h, comme nous le verrons plus loin. Si les équations de g et h sont de la

forme

Av^-t- aB viv2-+- Gv| = o,

A'vf + 2B'v1v2+CV| = o,

A, B, G étant quadratiques en (X), A', B', G étant quadratiques en (jjl), l'équation de F est

(AC-+- CA'— aBB')2— 4(AC — B»)(A'C— B'*) = o.

D'après l'hypothèse, les fonctions AC — B2 et A' G'— ?>'- des (X) et des (m.) sont les mêmes; alors, exprimant cette condition, on voit tout de suite que AC+CA' — 2BB' est symétrique en (X) et (|/.), et le théorème est démontré.