CHAPITRE VIII. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

Le discriminant de la série (p.) est de même

\x'{ cl- 4- ]x\ [J-idr 4- >j-i \J-l d'e 4- pi </'2,

ce qui permet d'écrire de nouvelles égalités intéressantes pour définir e ou e'.

La forme équivalente à ()>) est

où l'invariant y est encore une polaire

(>«li "«23

X = On — -*- +...- 623

= ( «22 bri 4- «33 022 — 2 «23 &23 lijï 4~ . . ■

4- 2 («12 Oi 3 -4 «13 012 — «11 023 — «23 °i 1 ) \ï £3 4" . .

De même, la forme équivalente à (u.) est

;j.i rf/4- [ii [X2A 4- |x| «"#-,

avec

// = jin h. . . = «11

= («2ïp33+ ^:;s^2— 2a2:,P23 >''ï "H • • -

-H2(a,2p,34- v.1:!3|2— au323— o^Pn )^2^ +

Les dix quantités f, g, A, cp, cj>, y, c/, e, e \ cl' forment un système d'invariants indépendants pour le système de coefficients et de variables envisagés.

On remarquera la dualité qui existe entre les formes de ce système : en les remplaçant par cp, >b, dd'y, df, d'g, h, e/-, e'd, ed', r/'2, on obtiendrait les formes correspondantes relatives à l'ensemble formé par cp et à, f et g restant données.

233. Nous allons chercher tout de suite une forme canonique simultanée pour y et g. A cet effet, cherchons les éléments (x) cpii ont même polaire par rapport à /'et g : on doit avoir

Si — y- est la valeur commune de ces rapports, ces équations expriment d'abord que le discriminant de \if-\-\2g est nul, et,

25o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

par suile, on a l'équation

A= ).j «12+ À 2 Z> j o XiOi: — XjÔjî Xt ai3-f- X26î3 Aiai3-+-X26tj Xj aî3-+- Xj6î3 Xia3S-t- X26s3

= ).Jrf-i- À f À2c 4- X] X| e'-t- Ai <•/' — o;

de plus, on voit que les éléments cherchés sont en même temps les éléments multiples du faisceau [/, #), c'est-à-dire les éléments multiples des séries de ce faisceau, / .,./ "/.•»:,' = o, qui se décomposcni .

Si une racine (À de l'équation A = o n'annule pas tous les mineurs du déterminanl A. ce <pii arrive nécessairement si cette racine esl simple: à cette racine correspond une solution unique (x) : la série correspondante, A|/-A2if =o, admel cel élémenl double unique.

Si une racine (/. : annule tous les mineurs «le A, de sorte qu'elle esl douille nu triple, il lui corresi d une infinité simple d éléments i ./• i remplissanl un élémenl de seconde espèce que représente deux fois l'équation "/., /' / 2g - <>•

Si / et g sonl des formes distinctes, coi i nous le supposerons,

li'- éléments de A ne peuvenl être tous nuls.

Si ().), i / ' ■, sonl deux racines distinctes de A = o, auxquelles correspondent des solutions (x el ' nécessairement distinctes, on a

d'où

ot par suile. puisque l'on a ()•/.') yé o,

donc (./• i el | z ! sonl conjugués par rapport à /' el g, el . par suite, par rapport à toutes les séries du faisceau i /'. g).

Si le déterminanl A esl nul identiquement, d et d' sont nuls, et, par suite, / et g sont décomposables. On peut prendre /sous I une des formes 2 r/ ., :] .r ., .r :i ou atlX2t, et l'on vérifie sans peine que g représente alors deux éléments de seconde espèce dont l'un esl commun avec ceux que représente /, ou bien qui ont en