CHAPITRE VIII. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES. J

commun un élément multiple de f. Toutes les séries du faisceau sont décomposables.

234. Le cas où A est nul identiquement étant laissé de coté, le faisceau (/*, g) contient au plus trois séries décomposables qui n'ont pas d'élément double commun.

On peut alors démontrer sans peine les propriétés suivantes : i° Supposons qu'une série décomposable (\) se compose de deux éléments (£) distincts. En choisissant les coordonnées de façon que cette série soit 2X-2x3 = o, l'étude de A montre immédiatement que, si la racine (à) est simple, la solution correspondante (x), qui est ici O,, n'appartient à aucune série du faisceau (/, g) autre que (à); si la racine (),) est double, O, appartient à toutes les séries du faisceau, qui y sont tangentes à un même élément (£), d'après les propriétés des polaires; cet élément langent commun coïncide avec x2= o ou ^-3=o si (X) est racine triple et seulement alors.

2" Supposons qu'une série décomposable (À) soit une série linéaire double; son équation peut alors être prise sous la forme x\ = o. On voit ici que J^oa en commun avec toutes les séries du faisceau deux éléments distincts A et B, si (),) n'est pas triple; les séries sont tangentes en A et B, et leurs éléments tangents communs sont distincts de xx = o. Si la racine (1) est triple, xt = o est tangent à toutes les séries du faisceau en un même élément A.

235. Examinons maintenant les différents cas qui peuvent se présenter.