I. U équation A = o a trois racines simples

A ces racines correspondent trois éléments (x) distincts, qui ne sauraient appartenir à une même série linéaire, d'après leurs propriétés, et qui forment une suite triple conjuguée à la fois par rapport à / et g; il n'y a d'ailleurs pas d'autre telle suite. En la prenant pour suite de référence, on a les formes canoniques

et les trois quantités aubjj — ctjjbu sont différentes de zéro.

II. L'équation A = o a une racine simple et une racine double qui n'annule pas tous les mineurs de A.

C'est un cas limite du précédent.

Si 0| correspond à la racine double, et O^ à la racine simple, les séries sont tangentes en 0| à 0| 0L>. d'après les propriétés indiquées plus haut. La polaire de 02 contient O, : si l'on suppose (jue 0:, appartient à celle polaire, on ;i les formes canoniques

/ aitx\ a aaj ;./', rs

d'ailleurs, on ;t

III. L'équation A = o << une racine triple qui n' annule pas tous 1rs mineurs de A.

< . esl encore un « i> limite «lu précédent .

Si <), correspond ;i la racine triple, les séries \ sonl tangentes ;'i il. par exemple. < >n a

b . - : ■ b . i . a . ; . , . /-, . / , ./ ;. avec

< >, esl commun trois fois aux séries f el g\ ces séries uni un quatrième élément commun que I'od peul prendre pour < ): : alors

I\. L'équation A = o a une racine simple et un<' racine double qui annule tous les mineurs de A.

A la racine simple correspond par exemple <>,: à la racine double correspondent tous les éléments de L>,. polaire «le O,, par suite. Si Oi et 03 sont conjugués harmoniques par rapport aux deux éléments A et B communs à Q, et kfelg, la suite triple O,,

< >.. 03 est conjuguée par rapport à /ci g. On a donc d'une inlinité simple de manières

f — aux\ — anx\ — a

bux\ -+■ ù,,xl — fj3,