CHAPITRE VIII. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

avec

«22^33 — «33632=°, "ll'll> "l-lbli^O, «1I&33 «33&ll^O.

Si l'on prenait 0| AB pour suite de référence, on aurait

g = bi j x \ -t- 2 b 0 î ./-2 r:i ,

avec

" \ 1 ^ •«:; — " •■:: ''il "■== 0.

V. L'équation A = o a une racine triple qui annule tous les mineurs de A.

A cette racine correspondent tous les éléments de û3 ; les séries du faisceau se touchent en O, ; si 02 est quelconque sur 0.$ et si Q2 est la polaire commune de 02, on a

j = «22-r2 "+- «33#§ -+" l" \.)rl *3, g = biiX\ -+- !>?,; >'l -+■ 2 A, ../•, ./• .,

avec

«22^13 — «13622 = 0, a-2>ib33 — (t ■;■, I' -i 1 ■ - O, "\',b:t.i — «33 &13 i— O.

!230. L'analyse qui précède nous fournit d'abord la réduction de /et « à des formes canoniques, en particulier à des sommes de carrés lorsque cela est possible. Elle nous fournit aussi les éléments (x) qui ont même polaire par rapport à toutes les séries du faisceau, et par suite les éléments (;) qui ont même pôle par rapport à ces séries; les suites triples conjuguées par rapport à ces séries; les séries décomposables du faisceau, ainsi que leurs éléments multiples. Enfin elle nous fournit la disposition des éléments communs à deux séries quelconques du faisceau, qui sonl les éléments communs kf et à g.

On voit tout de suite, en effet, qu'en laissant de côté les séries décomposables,

i° Dans le cas 1, deux séries (à) du faisceau ont en commun quatre éléments distincts, qui inversement, déterminent le faisceau ;

2° Dans le cas II, deux séries (X) se touchent en O,, qui leur est commun deux fois, et ont deux autres éléments communs distincts, qui, avec O, et l'élément tangent commun Q3 en O,, déterminent le faisceau ;

3° Dans le cas III, deux séries du faisceau sont OSCulatrices, c'est-à-dire ont en commun trois fois l'élément O,. où elle> se touchent suivant ù3, et une fois un autre élément ;

i" Dans le cas IV, deux séries du faisceau sont bitangentes, c'est-à-dire ont en commun deux fois les deux éléments A et B, en lesquels elles se touchent, les éléments tangents communs déterminant avec A et H le faisceau :

5° Dans le cas \ . deux séries ()») sont surosculatrices, c'està-dire ont en commun quatre fois l'élément O,, où elles se louchent.

Les modifications à faire quand l'une des séries <).) est décomposahle, ou qu'elles sont toutes deux décomposantes, sont é\ idenlcs.

iioT. Il esl facile d'écrire les conditions qui expriment que l'on se trouve dans un cas particulier donné.

Les séries f et g sonl simplement tangentes si l'équation A = o a une racine double, ce qui donne

Les séries f el g sont osculatrices si A =o a une racine triple. c'est-à-dire si le bessien de la forme binaire A par rapport aux < / esl nul identiquement, ce qui donne

Si les séries/'el£"sont bitangentes, et si (a) est la racine double de A. = o, la forme équivalente à).,/—)..,:.' est nulle identiquement : on .1 donc

Xf«p a,/.,/ -/.H =o;

dérivées partielles de A sonl nulles aussi; alors, éliminant linéairement '/.j,/., L el A") entre les trois équations ainsi formées, on obtient comme condition l'évanouissement identique de l'invariant

Cette condition nécessaire est suffisante aussi, comme nous le