CHAPITRE vin. — LE SYSTEME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES. 'J.r

montrerons pins loin, si les conditions d'oscillation ne sont pas vérifiées.

Si les séries f et g sont suroscnlatrices, on a comme pins haut, pour la racine triple de A = o,

de pins, les dérivées partielles du second ordre de A sont nulles, cl par suite

"$d\i-\- eX2 = o, eXi-f- e'X2 = o, e'Xj -+- 3c/'X2 = o. On en déduit, en particulier, les deux relations équivalentes :

ces conditions nécessaires sont aussi suffisantes, comme nous le verrons plus loin; elles entraînent les conditions d'osculation.

238. Tout ce qui précède peut être répété sur les séries cp et '.!> et le faisceau u., o -4- ix.^l différent du faisceau "k, f-\- \>>g.

On obtiendra la forme canonique de cp et d>, les éléments qui ont même polaire ou même pôle par rapport à a» et <!;; .... Si, en particulier, les séries f et g sont indécomposables, de sorte qu'il en est de même de o et <J», les éléments qui ont même polaire ou même pôle par rapport à cp et '} sont les éléments déjà trouvés, qui ont même pôle ou même polaire par rapport à y et g\ les suites triples conjuguées par rapport à cp et <b sont les mêmes que les suites analogues relatives à /et g\ les éléments communs à cp et à 6 sont les éléments tangents communs à f et à g; les séries décomposables du faisceau (es, <b) sont formées des éléments communs aux éléments tangents à y et à g, associés deux à deux, et ces couples d'éléments déterminent les éléments de seconde espèce qui ont même polaire par rapport à o et 'b ; ....

Ces résultats, réciproques de ceux précédemment obtenus, n'ont rien de surprenant, si l'on remarque que l'équation M = o, obtenue en égalant à zéro le discriminant de u.t es -+- [i-2'}> se réduit à l'équation A = o par la substitution

[Xi rf'X2

;ju d\\

les tlifFérenls cas possibles seront donc les mêmes qu'au n° 23o. Dans le cas I, avec les notations déjà employées, les formes canoniques sont

te = aSsOs3?î-t- ":t3"n ;i - axlaa\

•l = b„b„S\ - bi3bu%\ bnbt \

/'et s ont en commun quatre éléments tangents distincts. Dans le cas II, on a

f = a ': . - ta.irti ; ;

■II. \ | xbît bn t , e, ;

/' i'i i' ont en commun deux éléments tangents simples, el en outre Qj deux fois.

Dans le cas III. on a

tp = ( atia ! : ': ': '",;";;.

ty = A. A.. ' ; b \\ iA„ftn* -A .A ;

û ; est h h élément Langent commun trois fois à / 'ri g\ il en existe un .mi iv simple.

Dans le cas l\ . on peut écrire « el y comme dans le cas I. ave< li - conditions énoncées au n 23o; / et g onl deux éléments tangents communs, comptant chacun deux fois.

Enfin, dans le cas \ . on a

Q esl un élément tangent c nun quatre fois à / <i à

Le» conditions caractéristiques <\>> divers cas s'expriment comme au numéro précédent; dans les cas H el V, elles deviendront

; ,/ > de' e • o

rf'e/ e h i A/ « u.

I dd'f — eh -t- 'A ^ = o.

^239. Les séries décomposables du faisceau i /", g i correspondant aux racines de l'équation A = <>, l'équation de ces séries, c'est-