CHAPITRE VIII. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

à-dire des six éléments de seconde espèce qui contiennent les éléments communs à/ et à g deux à deux, est évidemment

d'p-e'pg -+- efg* - dg* = o.

Il est d'ailleurs évident sur les formes canoniques que les éléments (ç) qui constituent l'une de ces séries décomposables ont en commun un élément O/, et sont conjugués harmoniques par rapport aux deux éléments Oy qui contiennent O, ; cette proposition, qui s'applique au cas I, est facile à modifier dans les cas particuliers.

La même chose peut se répéter sur les éléments déterminés par les séries décomposables du faisceau (<p, -|) ; en particulier, ils ont pour équation

û?'2cp3 e«Tcp2(|, j e'du^ — d*^ = o.

Les séries du faisceau (/, g) ont pour équations tangentielles

X? <p + >iX2jt -+- X| ty = 0 ;

donc, il y en a deux qui touchent un élément (ç) donné; ces deux séries sont confondues si (£) vérifie l'équation

4 cp.|/ 1 -a = o ;

d'ailleurs, il en est ainsi évidemment si (£) contient un des éléments communs à /et à g, de sorte que l'équation du quatrième degré que nous venons d'obtenir est celle de ces quatre éléments communs. Nous retrouverons ce résultat plus loin.

De même, l'équation des éléments communs à o et ty, c'est-à-dire des éléments tangents communs à/ et »', sera

\dd'fg — h* = o.

210. On peut envisager les deux invariants qui sont les jacobiens des formes/, g, h et o, <b, y.

En se servant des formes canoniques générales du cas I, on a

h = flnin («22 633 + «33^22)^1 -H. . .,

le jacobien /• de/, g, h est donc

r = r, ^2^3 ^«22 633 — «33622) («33 6U — «11 633) (a, 1 622— «22611); An. - I. i7

le jacobien p de co, <|/, y est

On voit que les équations /' = o et p = o représentent les éléments Oj et 0/ de la suite triple conjuguée par rapport à /'et g.

Dans les cas IV et V seulement, /• et p, toujours faciles à calculer, sont nuls identiquement : or ceci arrive toutes les fois que les fonctions /, g, h ou cp, !/, y sont liées par une relation, et celte remarque justifie ce qui a été dit plus haut sur la suffisance des conditions obtenues pour exprimer le double contact ou la surosculation.

Les invariants r el o sonl liés par des relations aus invariants emploj es jusqu'à présent . Si (),) est racine de A = o, la forme

esl un carré parfait, et, égalée à zéro, représente deux fois l'un des éléments I >,. d'après ce qui a été «lit plus haut : p- ne diffère donc que par un facteur constant du produit

a(Xî<p-4-x1xlX • -): -

étendu aui trois ratines de A = o. On trouve alors >.oi-. peine

— e'd'ytx-hi Uld' — c, lip^x— edty*%-+-ed'<fi* -, <■' ,/ly ' — ,/,/' y K Un raisonne ni analogue conduit à

r*=f»dd'* -hf*gd'i e* — ■,,.',/, +fg*d(e'* — >.ed') +• g»d*d'

— ed'f-h idd'—ee' \fgh e'dg*h + e'fh*-h egh^—h?.

Remarquons que le calcul indiqué au commencement de ce

numéro nous montre que les formes h et y sont réduites à la même forme canonique que / et g, dans le cas général : la suite triple conjuguée par rapport à f et g l"e>l donc aussi par rapport aux séries h el y. Mais la série h ne fait partie du faisceau ( f, g\ (pie dans les cas de double contact ou de surosculation; il en est de même pour y relativement au faisceau (<p, <l).

241. \ oici comment, dans le cas général où l'équation A = o a trois racines distinctes, on peut réduire f et g aux formes cano-