CHAPITRE VIII. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES. 25g

niques du cas I :

Soit

A = ri(X1).,2''-),2X1')) (i = i, 2, 3),

et faisons correspondre la racine QJl)) à l'élément de référence O- •; alors la forme équivalente à d'X^cp + c£k\l)fy, soit

d\V<) ;2/j x«) X2'> A -+- rf( X</> )V,

ne diffère que par un facteur constant de x'-~ .

En faisant /i = cx°i et désignant par [y) un élément quelconque, on peut donc, en prenant la polaire, écrire

x't= d\l^^axy+l^l^cxy+ d(l^ fbxy.

Le déterminant de la substitution ainsi définie, pour passer des (#') aux (#), est

8 = rfrf'(X(19'X'î3'— XV!').l22»)(XVi,>-,21,--X'11»X23')(X'11)Xy2'-À1?'À'21')/-(7),

d'après la définition de r comme jacobien.

X ( " Les rapports r-y- sont des invariants absolus, et l'on a

Vu ^

Par les propriétés des invariants, en faisant les (x) égaux aux (/"), et appelant [y') les transformées des (y), on a

- Tin «n7f- TT7) a^yï- TTi) «33JS2= ftj»,

fllia22fl,33-: ^2 >

puis, en se servant de h et de ces relations :

XV'/X',21 X'^\ , „ Cy*

On tire des équations ainsi obtenues

aa =

a'i'VHW a(/'— a(/' a2'')( A'l'! H*'— a(/'! H")

les indices ï, /, A" étant différents.

Il vient donc

f X e= S (A,A',"-AJ,'|").rr

Si l'on fait les ^ r) égaux aux (.r), au second membre — V se réduit au carré parfait

d'après ce qui précède : on a ainsi décomposé ^/-f- X2£" en une somme de carrés, mais les nouvelles variables ne sont pas en é\idence.