CHAPITRE VIII. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

ments tangents à f suivant les éléments communs à f et à g sont

bdf(e'f+eg-h)-{ef+-dgy-=o;

les séries décomposables du faisceau sont

A(dy—eo, do) = o, ou

( dd'— eé)-f -f- ( e*- -f- de') f- y — 2 de cpyj2 + d* y* = o.

L'invariant e relatif à y et Ji est ide' : il est nul avec e' ; etc.

233. Envisageons la série F, et cherchons l'équation des éléments communs à F et à ù/, correspondant à la racine (Xw) de l'équation À = o, les coordonnées étant supposées coïncider avec la suite triple conjuguée commune àf et g.

L'équation de Q< compté deux fois est, en supprimant l'indice i,

d'\\f+\l'kih-+-dl;\g = o;

si G est cette série, l'invariant X relatif à F et G définit les éléments cherchés; leur équation est donc

o = x, [(c'XiX,+ arf'X3)«p -+- dlyl.'b ■+■ dl\ xl + a2[rf'X1X2(p 4-(2^Xf -+- eXiX2)^ -+- ^'^i'/J -+-a,[(rfX»-+-aeX1X,+ c'X})rf'ip

-^(eXf + ae'XjXa-H^'XI)^ — 2gW'X,X,/1.

Les éléments tangents à F menés par O,, et par suite tangents suivant les éléments dont nous venons de déterminer l'équation, sont aussi faciles à déterminer ; on obtient leur équation en égalant à zéro l'invariant simultané relatif à la forme tangsntielle de F et

à ~K\ cp -\~ X, X2 y -+- V22 '| ; ce sera

0= a°r[(2dXf-+-eX1X2)/+rfX1X2^+X22A]

-+- ai [rf'XiXs/n- (e'X,X,-+- id'\\)g-+- X? /*] + al|[rfeX? + (e2 — «fe')XiXt — rfrf'Xftd'/

+ [— rfd'X? -+-(e'2— rf'e)X1X2+ rf'e'Xl]^

-f-U/e'Xf ^2tW'À1L4 -rf'eXDAJ -+-a1a2[(eX?-h2e'X1X2-i-rf'Xi)/+(rfXf-H2eX1X2 + e'Xi)^ — aXiX2A]