V. — Le faisceau (/, g

256. Le faisceau (f, g), dont les diverses séries ont pour équations

est contenu dans le réseau ( f. g, h). Son étude directe présente cependant un certain intérêt.

Le faisceau est défini par deux quelconques des séries dont il se compose, supposées distinctes : son étude spéciale, indépendante des séries particulières / el g, revient donc à celle de la forme à variables ternaires x el à variables binaires (X)

F ■ /,./ \xg.

Les invariants multiples de cette forme seronl ceux du faisceau ou lr> combinants < l<- / •• i g : nous considérerons surtoul ceux qui dépendeul des variables i x i el (£) ainsi que <\<-~ coefficients, et qui, par suite, -'>ni indépendants au nombre de sept.

Nous nous servirons comme auxiliaires du discriminanl de F,

D = d\*+ .):). -."/,"/ }■+ d 5 |, el <\r la forme tangenl ielle de F

D esl une forme cubique binaire par rapport aux /. | : son discriminanl

A = - — (lyd^d^—iSdd'ee' \de'> \d'e»—<

esl le seul invariant proprement dil du faisceau : égalé à zéro, il exprime que les séries du faisceau sont simplement tangentes. Le discriminant de la forme quadratique '!•. soit

12 = Il W-x»),

esl un invariant du faisceau : égalé à zéro, il définit les quatre éléments communs à toutes les séries du faisceau. Le hessien de la forme D est

II = - [(Ide'— e* /.?-+- (gdd'—ee1 ."/,"/, h (îd'e — e'*)X|] ;

son évanouissement identique exprime que les séries du faisceau sont osculatrices.

Les formes quadratiques en ().) désignées par <ï> et H ont un