CHAPITRE VIII. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES
invariant simultané que l'on peut écrire
CD t
ie
ie'
il exprime, par son évanouissement identique, que les séries du faisceau sont doublement tangentes, ainsi que nous l'avons déjà vu.
La forme $ nous montre encore que le jacobien p des formes m, <[/, 7 est un invariant du faisceau : nous connaissons sa signification, et nous savons que s'il est identiquement nul, c'est que les séries du faisceau sont bitangentes, comme tout à l'heure.
Formons maintenant les invariants qui ne dépendent que des (x). On en obtient trois, qui sont liés à A par une relation bien connue, en éliminant les (à) entre F et soit la forme cubique D, soit le hessien H de cette forme, soit enfin l'invariant cubique J de celte forme, c'est-à-dire
J = — [(27rf2^' 9dee'-{- 2e3)lsl + (ijdd'e -+- 3e»e' — i8de'*)l\ X2
— (zjdd'e' +3 ee'* — 18 d'e*)!^ — (-27 dd'* — gd'ee'-h ae'»)Xf].
Le premier a une signification connue; nous reviendrons sur les deux autres un peu plus loin.
Formons maintenant la fonction J3(D, <ï>), D et <ï> étant considérées comme des formes binaires aux variables (à); on obtient l'invariant auxiliaire
S = Xt(c'cp — ex 4- 3flty) -+- X2( 3e?'<p — e'x + ef\
dont l'évanouissement identique exprime, comme l'on sait, que les séries du faisceau sont suroscula triées. Si, de plus, nous calculons la forme tangentielle de cet invariant, nous trouvons
= /[(e'2— 3d'e)dll + (idd'e'-h ee'*— ^d'e^)lt X2-H(9<ta'2-I- e'3— ^d'ee')\\] -4- h[(3de'— eZ)l*-h(gdd' — ee^l^-h^d'e — e'2)X2] + g[{gd2d'+e*—4dee')'k\-h(3dd'e-he*e'—4de'*)ll'kz+(e* — 3de')d'll],
et nous en concluons que le jacobien /• de/", g, h est un invariant du faisceau : nous connaissons d'ailleurs sa signification, et nous savons que, s'il est nul identiquement, c'est que les séries du faisceau sont bitangentes.
257. Les considérations suivantes vont nous permettre d'expli-
quer immédiatement la signification géométrique des invariants que nous ne connaissions pas déjà parmi ceux que nous venons d'obtenir.
Si Ton emisage la série du faisceau F = a, f~\- X2 g, les quatre éléments A,. \,. A;. \,. communs à f et g, ont sur la série considérée un certain rapporl anharmonique l \, \2 V2 \ , r. si V, Test l'élément tangent en A, à F. ce rapport est égal à celui des quatre éléments de seconde espèce alignés \,T. \, \j. \, \:!. \, \,. Si maintenant on considère quatre séries quelconques du faisceau. elles ont un certain rapporl anharmonique qui es! celui des variables (X) qui leur correspondent; c'est aussi le rapporl anharmonique de leurs éléments tangents en \, par exemple, puisque L'équation de L' élément tangent à I en A, est linéaire par rapport aus / . On peut d'ailleurs considérer \ , \.. \ , A:, , A , ^ comme les éléments tangents en \, aux séries décomposables du faisceau.
Don», finalement, le rapporl anharn ique 1 \, V \ . \,i sur F
est égal au rapporl anharmonique formé par les (X) avec les trois
racines de D. En l'app< lanl • on a, pour le déterminer, d'après le h ■ NX, les équations
(pi-+- p«)»f, Q|-a?,)'(p» — -.' - ; -pt)*
.1- ,11 Ah
Mous en concluons immédiatemenl le sens géométrique des équations .1 =0, Il : o, el celui des invariants obtenus en éliminant les i ai entre ces équations el F = 0; de même aussi celui de l'invai i.nii simultané de '!> el II.
Les <leu\ séries définies par II . o, et pour lesquelles le rapporl 1 A, A. \ . \ ,) est équiauharmonique, seront les séries f et g elles-mêmes, -1 l'on a e = e' =■ o, II n'étant pas supposé nul identiquement. Dans ce cas, facile à étudier d'une façon plus précise, les formes h et y sont tangentielles l'une de l'autre, et les trois séries jr", g, h sont telles que chacune a pour série polaire par rapport à une autre la troisième.
Remarquons encore que si deux séries sont harmoniques, on peut dire, d'après le n" 245, qu'elles sont conjuguées harmoniques par rapport à deux des séries décomposables de leur faisceau; si donc ces deux séries décomposables sont/ et g, A|/-r A;>£ = o et a, f — \2g = o seront deux séries harmoniques.
