CHAPITRE VIII. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES. >;î

VI. — Autres invariants du système de deux formes quadratiques.

258. Nous allons dire quelques mots des invariants qu'il fan l adjoindre à ceux rencontrés précédemment pour former un système complet relatif à l'ensemble des deux formes/, g, et des variables (x) et (ç).

i° Le jacobien de /, g et (£ | x) est, en se servant des formes canoniques générales (simplification qui sera conservée dans tout ce paragraphe),

/. •= o est le lieu des éléments (x) dont les polaires par rapport à /et g sont alignées avec (ç), ou bien encore l'équation de l'élément commun aux polaires de (x) par rapport à / et g] c'est d'ailleurs un invariant du faisceau (/, g). Remarquons que les polaires d'un même élément [x) par rapport à toutes les séries du faisceau ont en commun l'élément d'équation k = o, et forment un espace à une dimension dont les coordonnées sont les quantités (à) qui définissent les séries \if-\-'k.2g = o : on peut en conclure immédiatement de nombreuses propositions qu'il est inutile d'énoncer en détail.

Si (£) est donné, k = o définit une série quadratique circonscrite à 0| 0203.

2° Le jacobien de o, -!/ et [x | ;), soit

/. = anùn(a22^r.i — «33 b-,2)^i ç 2 ; 3 + • • -,

appelle les mêmes observations.

3° et 4° Formons le premier membre de l'équation de la polaire par rapport à g du pôle de (£) par rapport à/; c'est

c'est aussi le premier membre de l'équation du pôle par rapport à/de la polaire de (x) par rapport à g.

En intervertissant les rôles de /et g, on a de même l'invariant

V =■ X = «H^22^33^lÇl +

Les formes bilinéaires / et /' définissent deux homographies faciles à étudier directement.

An. - I. '3

2j4 LIVRE II. — LA GEOMETRIE TERNAIRE.

5° et 6° Les jacobiens de/, / et (ç | x) d'une part, g, V et (ç | x) d'autre part, sont

m = a\ ,< «22^33— «33^22,»ri:2Ç.i + - • -,

m = b\ , ( a:2633 — a3Sbti)xi £s!j3-t-. . . :

la signification des équations m = o et /n/=o est immédiate.

-j° et 8° Les jacobiens de -^, a et (x\%), d'une part, •}, a', et (x\ £), d'autre part, sont de même

[i'= an l>iibri( a.1<1l>Zi — a33 6,0^*^3 £i — . . .. Nous n'insisterons pas davantage sur ces formation-.