CHAPITRE IX. — RÉCIPROCITÉ ENTRE DEC* ESPACES COÏNCIDENTS

respond à (y) de Y, et l'on a

«1 ljl + «1 2/2 +« 13.^3 «2lJl-f-«2272 + «23j'3 «3ljl"+- *32/2 "+- «33JK3

Si les a/y sont les coefficients des «/y dans le déterminant <:/, et si l'on fait

a\i a\ï a\z îi

Cl 2 1 Cl 22 ^23 Ç 2 «3 1 «32 «33 Çl

= 2aVçfTj/J

*jl ',2 »]3 O

tj/ = o est l'équation de (y) correspondant à (£), ou de (#) correspondant à (r, ), de sorte que

df(x,y) = -

«11 Çl -H«21?2-|- «31 £3 «12^1 -+- «22 Ç2 -h 232 ;3 « 1 3 ? 1 + «23 U "+" «33 ^3

all'1t-l-«12'')2-+-«13Tj3 <*2 1 7) 1-H «22 7/2 -H «23 7) 3 »3l'')l+ «32*12-+- «33r,3

On a aussi

Nous laisserons de côté les réciprocités singulières pour lesquelles d = o; leurs particularités résultent immédiatement du n° 20o.

267. Nous allons étudier le système formé par la forme f et les variables (x) et (£) : si on lui adjoignait les variables (y) et (/, ), il serait facile d'obtenir les nouveaux invariants correspondants.

On a d'abord les deux invariants fondamentaux /(a.1, x), <];(£, ç), que nous désignerons par /', et tL ; leurs formes tangentielles <p< et gn forment avec ft et <l/,, la forme (£|:r), et les invariants proprement dits cl et ï, un système d'invariants indépendants, i étant défini par l'égalité

i = «ii a ! i — f- . . . -+- « ! 2 a2 1 -+- . . . .

La série quadratique/, = o est le lieu des éléments (x) appartenant à X ou Y qui contiennent leurs correspondants; de même la série quadratique '}, = o est le lieu des éléments (£) de X ou Y qui contiennent leurs correspondants.

28 j LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

Cherchons maintenant les éléments (x) qui ont même correspondant, quand on les considère comme appartenant soit à X soit à V; on doit avoir

«n X\ -f-«12.r2-i-«i33";5 ailxl-\-aizxi-+-aî3x3 asxXi-hasiXi-ha^ufi rinXi — ciuXo-i-astXs a12 xx +«2.2/2 + «32 x3 «13 ri + «23^8 + «38^8

et si 0 est la valeur commune de ces rapports, on a pour déterminer z l'équation

«21 — «12? «l'O- p) «23 — '< ;i} =(l ~ p)[d?2 + (d — l)p + rf] = 0. I «31 — «13? «32 — «23? «83(1— P)

De même, pour déterminer les éléments 1 ; 1 qui ont même correspondanl quand on les considère comme appartenant suit à X, soit à ,i . on a

g|Ki *I1Ç|

*isÇî + a i.-i : :

a»i Çi -H «22?î 'y -" 2 ;•;!— -2;;. v:.t;:t

*ISÇl 2:.;j ' y:iiÇ3

et la valeur c mue de ces rapports esl encore une racine de

l'équation cp( p) = o.

On peut choisir les coordonnées de façon que O, corresponde à 1, 02 à p2, 03 à p3; alors aussi 12, correspond à p1; il., à o2, il, à p3, et l'on a

lî

Il H

il en résulte

an a o, «23 «32?= o;

/= "tl'l.n «28a?»^»-+-«J2^8^i)

'l> = — «23«32Ç| »Jl— «H«32Ç8l8— «Il «28^3 *)2-

Les couples O, et i),, 02 et û3, 0:i el IL sont correspondants. On a

rf = —«11 «23 «32, i= — «ll(«|j + «23 «32-+- « î 2 ),

/l = «ll^ï+(«23+«.i- ' «|*l = — «28«32^ï — «ll(«23+«3l)£l£s»

?1= — 7 («23+ «32 >-:i — «ll(«23-+- «32)^2 ;.!,

«11 («13+ «32)!ÎI — «11 «23 «32 («23+ «3î)£î El-