CHAPITRE. IX. — RÉCIPROCITÉ ENTRE DEUX ESPACES COÏNCIDENTS

Les deux séries fK et g{ sont bitangentes en 02 et 03, avec Q:i et Q2 comme éléments tangents.

Pour le système (/,, d^), les invariants sont, avec les notations du n" 263,

o = 7(rf-f-i), o=-|d + j),

/, = ofo,-4- - (i-h d)<lu h = gx-Ar - (i-f- d)fx.

■su — tyt = o représente deux fois 0| ; doK — - (t + d)tyt = o représente 02 et 0-t; gt — clft = o représente Q, deux fois; g\ — - [i -+- d)fs = o représente Q2 et û3. On déduirait facile-

ment de ces remarques la façon de ramener y à la forme canonique que nous venons d'employer.

2G9. Si (x) est un élément quelconque de X, et (■/}) l'élément correspondant de (Y), le rapport anharmonique formé par les éléments Oa, 03 d'une part, (0,x) et (t;) d'autre part (157), est

égal à — ; il est donc constant et égal à la racine o3 changée

de signe de l'équation 0(0) = o. Si l'on considérait (x) comme appartenant à Y, on trouverait de même — p2 pour le rapport anharmonique correspondant; d'ailleurs o2os= 1, et l'on a

i — d ± /( i +■ d)( i — id)

On a ainsi la signification géométrique de l'invariant absolu de la forme/, ^

Si i= o, les rapports anharmoniques précédents sont équianharmoniques.

Si l'on prend l'élément (x) sur/, et qu'on le considère comme appartenant successivement à X et Y, ses deux correspondants sont les éléments tangents à gt menés par (x); on pourra les distinguer par la propriété précédente : on retrouve cette proposition connue que, si deux séries quadratiques sont bitangentes, les élé-

ments tangents menés à l'une par les éléments de l'autre se séparent algébriquement.

La même chose peut se répéter pour un élément (;) de seconde espèce, avec les modifications convenables évidentes.

Si maintenant (.r) est quelconque, on pourra trouver son correspondant en se servant des deux éléments tangents menés à g{ par (x); l'élément cherché est l'élément commun aux correspondants de ces deux éléments i.mgents.

On peut encore remarquer la proposition suivante : soient (y) et (z-) deuz éléments quelconques considérés comme appartenant successivement à \ el â ï , de sorte que chacun d'eux a deux correspondants (r,) et (r/), (^) et (£'); si (y) et (s) appartiennent à une même série du faisceau ( /, , gt), et seulement dans ce cas, les éléments O,, (vX') et(r/Ç) sont alignés. Une proposition analogue a lieu pour les éléments de seconde espèce.

270. Si Ton se donne une série de degré j> dans l'espace X, il lui correspond dans ^ une série «le même degré, mais d'espèce différente. Nous allons chercher, en supposant p = 2, si ces deux séries peuvent être équivalentes. En se servant des formules canonique, -i la série donnée est

/'il ■'{ -" bti \-rl — I' ■■' '! ^4 \b\ r '; / A... .r, :r2 = O,

1,1 série correspondante sera

+ 2 623at3asti]IT]s+ ibltau 9C237(3ti| ■+■ 2b13ctl] y.:ilrltrr2= o;

en remarquant d'abord que la série donnée doit avoir même correspondante dans X et dans Y, on voit qu'elle doit être de la forme

bnx\-\- 2bS3x1x9= o:

il est alors facile d'achever, et l'on trouve que les deux séries

anx\ ± i i/a23a32X2x3= o

répondent seules à la question.

271. Soit (x) un élément deX, (r,) son correspondant dans (Y); considérons (r,) comme appartenant à X, et soit (y) son correspondant dans Y; entre les (x) et les (y) existe une correspon-