CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTÈMES BINAIRES. 3l

les hypothèses faites sur G,

A12A?i G = n(P1 p1 n + i)Aj7»G;

d'autre part, la fonction A", G doit nécessairement s'annuler à partir d'une certaine valeur de n, car l'opération A2î appliquée à une fonction isobarique par rapport à chaque indice, conduit à une nouvelle fonction de même nature, dont les poids par rapport aux indices i et 2, sont respectivement l'un diminué, l'autre augmenté d'une unité; si donc À", G n'était jamais nulle, son poids par rapport à l'indice 2 pourrait augmenter au delà de toute limite, ce qui est absurde. Supposons alors que A", G soit nulle sans que A"7' G le soit; on aura P, — P2 — /î-(-i = o, d'où P, — P-2=o.

En particulier, on voit que, si P, = P.,, on a n = i, par suite A21G = o; de sorte que tout semi-invariant isobarique et de même poids par rapport aux deux indices est un invariant.

Démontrons maintenant que tout semi-invariant G, des poids respectifs [>.-{- k et ;jl(â>-o) peut être considéré comme la source A^0 d'un invariant d'ordre a de degré k par rapport aux (x). Il suffit de faire voir que l'on a

AlaA*s, A*)0 = /v2(/m -+- 1 ) A*âsf ' aa-.o, Afî*AA>o=o;

de cette façon, en effet, toutes les relations auxquelles sont assujettis les coefficients A*^, seront vérifiées d'elles-mêmes.

Gomme ces équations résultent immédiatement de ce qui vient d'être dit, en faisant P, — P2 = k, la proposition est démontrée.

35. Supposons maintenant que F ne dépende que des variables (x) et ( r), et considérons le coefficient AM;0>/ des poids respectifs u. + k et [J--t-/; on peut en tirer comme précédemment tous les coefficients AÂ.(/t,;/i v et ce coefficient est encore la source de l'invariant.

Si deux tels invariants ont même source A, des poids respectifs P, et P2, ils ne coïncident pas nécessairement, car ils peuvent ne pas être des mêmes degrés par rapport aux (x) et aux (y); on a en effet simplement p + k = V, , ja -h /= P2, ce qui ne détermine que k— L S'ils sont des mêmes degrés, ils coïncident; on en conclut que, dans le premier cas, ils ne peuvent différer que

par une puissance de l'invariant évident (xy)\ car, en multipliant l'un d'eux par une telle puissance, on obtiendra encore un invariant, avant même source que l'autre, et des mêmes degrés.

Soit A une fonction entière quelconque des éléments du système S, sauf les (x) et les (y), isobarique, des poids respectifs P, et P2; si on lui applique l'opération A,2 successivement, on finira nécessairement par tomber sur un résultat nul : il suffit, pour le voir, de raisonner comme plus haut relativement à l'opération Aj,. Soit A'V À le premier résultat nul; A est la source d'un invariant dont l'ordre et les degrés sont déterminés par

:* + /■■ -IV ,m-/ = i\.

cl qui n'est pas divisible par (.ry).

En elïet, supposons/» -^ o, cl calculons les coefficients AA.0;/(/j par les formules

A*'°^=/(/-i) .'.u,+ .)*'"' A; la forme

2 i^nv A/'"/,7:'i/,,->^

est isobarique cl des poids respectifs u. -+- k et u.; de plus, elle vérifie l'équation A|2F = o, où l'opération A,2 s'applique ;iu^->i aux (y), de sorte que l'on a bien /. ><>. Donc, d'après le numéro précédent, c'est la source d'un invariant considéré cou ■ ae dépendant que des (.ri. En v considérant aussi les (y) comme variables, le théorème se trouve démontré complètement, car le terme en x\y\ n'étant pas nul, la fonction obtenue n'est pas divisible par (xy).

Si L'on considère un semi-invariant G comme dépendant de variables (y), ce qui précède nous montre ce qu'on doit entendre par source de ce semi-invariant; un semi-invariant n'est d'ailleurs déterminé par sa source qu'à une puissance près dey^.

On pourrait répéter ce que nous venons de dire, sans grandes modifications, en remplaçant des variables de première espèce par des variables de seconde espèce. La source d'un invariant dépendant des (x) et des (£) serait le coefficient A/.>0;x>0.

On pourrait aussi obtenir des résultats analogues en considérant un invariant comme fonction des coefficients de certaines formes.