CHAPITRE IX. — RÉCIPROCITÉ ENTRE DEUX ESPACES COÏNCIDENTS

dance homographique ordinaire, définie par l'équation

(«11 #1 + «21^2-+- «31 ^ )(*liÊl + «1 2*2 + ^I3?3 ) + ...= O,

en général. Avec les formules canoniques, on a simplement

d{xx \x H- p3 a?î |a -+- p2 #3 b ) = o.

On voit que cette homographie admet les éléments de référence comme éléments doubles; elle est d'ailleurs particulière, puisque l'on a o2o:î= 1. En appliquant à cette homographie ce qui a été dit au Chapitre VJ, on obtiendra d'intéressantes propriétés nouvelles.

272. Examinons maintenant les différents cas particuliers possibles, en excluant toujours le cas de d = o.

i" o, et o2 soDt égaux et différents de i; alors leur valeur commune est — 1 et l'on a i -\- d = o. En outre, on suppose que cette racine double n'annule pas tous les mineurs du déterminant cp(p).

En faisant correspondre Oj à la racine i , et 02 à la racine — i , on a

/= aux1yl-±- a33x3yz + «13(^1 7 z -+-«,3ji)-*- «23(^273 — ^372), avec

par suite

/i= anx\-\- a33xl-+- ial3x{x3,

et l'on peut disposer de O, de façon que a13=o. Finalement, on a donc les formules simples

avec

^ = «23^1r-l + «ll«33?2T2+«ll«23(;2r,3— Ç3ri2),

f\= «11^1 + «33#3> ^1 = «23 îl + «11 «33^2,

fi= «11«33?2, ffi= «ll«33«23-r:I >

O, et Q,, 02 et 03 sont deux couples correspondants.

Les séries/, et àt se décomposent d'une façon facile à interpréter; à l'élément de 'l{

««Êl-t- /— «11«33Ç2= O,

pris dans X ou dans Y, correspondent les deux éléments de/*,

anxi

+- s/— a , , «33 x^ = o ou ai , xv — \l a , , a33 x3 = o.

2° On conserve les hypothèses précédentes, mais l'on suppose que la racine — i annule tous les mineurs de 'f(p). Raisonnant comme plus haut, on peut écrire

/= «11 'V'!— «23(.^>'3— >\>'i II

avec

On

d=ana\ i = — aiia\ii

fi=altx\, 4*t = «Is ?*•

O, et Q, correspondes à la racine i : à la racine — i correspondent tous les éléments de 0| el ii, : si M est quelconque sur li,, M et ( ), M sonl des éléments correspondants.

3° L'équation tp(p) = o admel trois fois la racine i, cl celte racine n'annule pas tous les mineurs de œ p .

On a ici / — ■ 3 il — - o.

\ p = i, faisons correspondre O, ; on trouve qu'il faut

«11=0, «12= «îl, i'ii— " ,l.;-,l,.

alors l'élémenl (ç i <|ui correspond à O, peut être pris pour û3, de sorle que rt)2= o; on a

/ = «2>''2j-2-r- a33ar37a+ al3(xiy3-ï- r3j>'i) -f- a23a?2<v3 + o3ïa:3^j,

avec

On en déduit

/", = aÎS;r| — a33a?| -+• aa13ari#3-i- (aj3+ a3s)#j#3 ;

on peut simplifier en faisant a33=o, a32= — «as» ot- •' vient finalement

avec