CHAPITRE IX. - RÉCIPROCITÉ ENTRE DEUX ESPACES COÏNCIDENTS

On a

4* = alsÇlVl— «13?2Tl2-+- «130î3(?1^2— £2 11) — «13022(^1^3-+- bll);

rt rz: Cl ? o ^22 ? ^ ~"~~ ^^13 ^22 î

/î= a22^| — 2 «13#l#3i '^1 = «23?f— «1 3I2 — '•i«I3«22^lb>

cp, = — af3£! — aai3«22?i$3) £"i = — «13 «I2 x\ — a\3a\3xl — ia\%at%xxx3.

Les séries/", et g\ sont surosculatrices en 0,, avec Q3 comme élément tangent commun. Ce cas est un cas limite du cas général.

4" On conserve les hypothèses précédentes, mais l'on suppose que la racine 1 annule tous les mineurs de '^{0).

Si O, correspond à la racine 1, on a a,2=#2i5 #i3=#3i3 a23 = «32? alors on voit cjue cette racine annule tous les éléments de 0(0) : il y a involution, c'est-à-dire que tout élément a même correspondant, qu'on le considère comme appartenant àXou à Y.

Les séries/", et g{ coïncident : les éléments correspondants sont pôle et polaire par rapport à/,, et cette série ne se décompose pas. Nous avons eu précédemment des exemples de ce cas. Nous vovons ainsi que l'étude d'une série quadratique peut être regardée comme un cas particulier de celle des réciprocités : inversement, on pourrait transportera la forme bilinéaire/un grand nombre de formules établies pour les séries quadratiques.

273. Parmi les réciprocités singulières, nous en citerons une qui est involutive, et cpie nous appellerons spéciale. On a alors

/= a.23(x.2y3 — x-3y,) -1- a3l(x3y 1 — ^îJTs ) — «1 2O1./2 — ^âji) ;

à un élément (a?) correspond l'élément (A#), si A est un élément de première espèce de coordonnées a-23: a3i, «,o. C'est aussi le seul cas où/, est nulle identiquement.

An — I. '9