CHAPITRE X. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES BiLINÉAIRES. 2Q I

les a/y étant définis comme au Chapitre précédent, et les (J/y jouant le même rôle par rapport aux 6,-y.

Si l'on a /= o, ou <p = o, nous dirons que les éléments (x) et (y), ou (;) et (•/■,). sont conjugués dans la réciprocité/; (x) et (y) étant conjugués dans/, l'élément correspondant à (x) ou (y) contient ( y) ou (x). Si les (x) étaient identiques aux (y), et si la forme y était symétrique par rapport aux (x) et aux (y)* on voit que (x) et' (y) seraient conjugués par rapport à la série quadratique/^, x) = o.

Le faisceau de formes \,f-h\2g conduit à de nouveaux invariants e, e' , y, obtenus de la façon suivante : les invariants qui jouent par rapport à \{f-\- \2g le même rôle que cl et o par l'apport à / sont

A = dfk\ + e\\ X2-+- e'X, \\ -+- d'\\ et

xfo+v^/.+ xi'y-

A est le déterminant des quantités aifk\ -+- 6iyÀ2 1 on a

dd i / dd'

la puissance qui ligure au dernier membre étant symbolique. On définit de même e', et enfin l'on a

dcijj dbij

De même, la forme jjl(o -h ;j.2'i du faisceau (<p, -i>) a pour invariant analogue à û?

M = d- \x\ -h rfe' jjif [J.2-H eTe^i [jl| -f- d'- \x\,

et pour invariant analogue à <p

<%?/ + !J-i I-1* ^ -+- ^' lxl Si

avec

/i est un nouvel invariant.

Enfin, les jacobiens des formes /, g, h par rapport aux (x) et aux {y), et des formes <p, ^, y par rapport aux. (£) et aux (r,) fournissent quatre nouveaux invariants, liés, comme nous allons

bientôt le voir, aux précédents par deux relations. Nous avons donc formé, comme cela devait être, quatorze invariants indépendants.

276. Cherchons un élément (x) tel que les éléments (r,) que lui font correspondre les deux réciprocités f et g soient identiques. On aura

bt,Xi-+- btiX%-+- b3tx3 >.i

().) étant racine de l'équation A = o.

Les (j~) tels que les (ç) correspondants soient identiques sont de même déterminés par

"nyi-^an.ri-*- «/a j3 . ^ bnft — bnyo -+■ 6/3y3 ' / . , '

les (a i étanl les mêmes que précédemment.

Les éléments ( '; el r,) ainsi déterminés vérifient eux-mêmes les relations

Pif Si '

les (ut.) étant racines de I équation M o : on passe d'ailleurs de cette équation à l'équation A <> par la transformation

;ji| il I

Les éléments (a?) el r> que nous venons de déterminer sont précisément les mêmes que le-- éléments singuliers <\<-~, réciprocités singulières qui font partie du faisceau /. g . el qui sonl déterminées par L'équation A r o : nous appelons ici éléments

singuliers d'une réciprocité singulière ceux qui ont leur correspondant complètement indéterminé.

La même observation s'applique aux éléments (£) et (y,) déterminés plus haut, qui sont les éléments singuliers des réciprocités singulières du faisceau (es, •!/).

Si deux éléments singuliers (x) et [y) correspondent à deux racines distinctes de l'équation A = o, ils sont conjugués dantoutes les réciprocités du faisceau (/, g i.