CHAPITRE X. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES BILINÉAIRES. 29'i

Remarquons enfin que pour étudier les réciprocités singulières du faisceau (/', g) et leurs éléments singuliers, on peut remplacer/ et g par deux séries quelconques distinctes du faisceau.

277. Si le déterminant A est nul identiquement, toutes les réciprocités du faisceau (/, g) sont singulières; ceci arrive dans les deux cas suivants : ou bien les deux réciprocités singulières /et g ont dans l'un des espaces X ou Y un élément singulier commun; ou bien, ce cas écarté, /et g sont simplement singulières, et leurs éléments singuliers, A et B pour/ dans X et Y, A' etB' pour g- dans X et Y, sont tels que, dans/, A' et BB' et par suite B' et AA' soient correspondants, et que, dans g, A et BB' et par suite B et AA' soient de même correspondants.

Ce cas étant laissé de côté, nous supposerons cl et cl' différents de zéro, ce qui est toujours possible d'après une remarque faite plus haut : de cette façon le faisceau (œ, <j/) est lui-même en tout semblable au faisceau (/, g). Si, d'ailleurs, cl ou cl' devenait nul, les modifications à faire seraient évidentes.

On est amené à distinguer cinq cas, dont deux généraux. Dans le cas le plus général, l'équation A^oa trois racines simples. 11 existe alors dans chacun des espaces X et Y trois éléments singuliers de chaque espèce, formant en tout deux suites triples proprement dites.

En prenant ces suites pour suites de référence, on peut écrire/ et g sous la forme simple

et les quantités ciabjj — a>jjbu sont différentes de zéro.

Il serait facile d'ailleurs de développer les formules qui permettent de ramener/ et g à cette forme canonique simultanée. Ici

d = an a22«33, e = ci2icii3bu -t- «33 «n b^2-+- a\\a%% 633, • • • ,

tout comme quand il s'agit de deux séries quadratiques, sauf que x'j et %j sont remplacés par Xij'i et £/v,/.

Les jacobiens r et r' de/, g, h par rapport aux (j) et aux (#) déterminent les éléments fondamentaux de seconde espèce; de même les jacobiens p et p' de es, à, y déterminent les éléments

29i LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

fondamentaux. Les produits rr' et pp' s'expriment au moyen des autres invariants, comme r- et z- au n° 240 en fonction des quantités analogues.

Comme cas limites de ce cas général, nous avons ceux dans lesquels l'équation A = o a une racine multiple, double ou triple, n'annulant pas tous les mineurs du déterminant A. Les éléments singuliers viennent alors se confondre suivant la même loi que les éléments singuliers d'un faisceau de séries quadratiques dans les cas correspondants.

Le second cas général est celui où l'équation A = o admet une racine multiple annulant tous les mineurs du déterminant A. Si cette racine est double, les formes canoniques du premier cas subsistent, et cela d'une infinité de façons; mais bon a, patexemple, «jj//;,;, — <7:!:i h .22 = o. Le faisceau (J\ ^ ) contient une réciprocité doublement singulière. Dans l'espace V si les O,- et Q, désignent comme d'habitude les éléments fondamentaux, O, et tous les éléments de û, sont singuliers; il en esl de même de Q, et de tous les éléments de O,.

Si la racine multiple de l'équation A = o est triple, on a un cas limite du précédent.

On obtiendrait sans peine, comme dans le cas des séries quadratiques, les conditions invariantes qui expriment que bon est dans l'un des cas que nous venons d'énumérer.

278. Si l'on considère l'élément (a?') qui correspond en vertu de g dans \ à (r.) de ï . correspondant lui-même à (x) de X en

vertu de /, entre les (x) et (x') existe une relation homograpbique; l'équation de t x') est, en se servant des formules canoniques,

il est alors facile d'interpréter la signification des conditions e = o ou e'=o, en se reportant au n" 212. Si, par exemple, e=o, il existe des couples de suites triples proprement dites, l'une dans X, l'autre dans \, dont les éléments d'espèce opposée se correspondent en vertu de/, et dont les éléments de première espèce correspondants sont conjugués dans g\ et ainsi de suite.

279. Envisageons le faisceau a,/— ï>*g et un élément (x); les