CHAPITRE X. — LF SYSTÈME DE DEUX FORMES BILINÉAIRES. 2Cp

éléments correspondants dans Y en vertu des différentes réciprocités du faisceau contiennent un élément (y) fixe, défini, en se servant des formules canoniques, par les relations

inversement, on a

( «22 633 — «33 622)7 2j3 ( «33 61 1 — «! 1 633)j3JKl ( «1 1 622 — «22 61 l)jl/2

Si l'on considère quatre réciprocités du faisceau, elles ont un rapport anharmonique, celui des (X) correspondants, qui est précisément le même que celui des quatre éléments (v}) alignés, contenant (y), qui correspondent à un même élément (x) en vertu des quatre réciprocités. En particulier, si les éléments singuliers dans Y sont les 0) -, et si (/,) correspond à (x) en vertu de mkif-Jr"k2g'^ le rapport anharmonique des éléments (■/)) et {yO\) est constant et facile à évaluer en fonction des invariants absolus du système y, g. D'une façon générale on peut étudier en détail le faisceau (/", g) comme nous avons fait pour celui de deux séries quadratiques.

280. Les formules du numéro précédent établissent entre les éléments (x) et (y) des deux espaces X et Y une correspondance spéciale, dont nous avons déjà eu des exemples, dite quadratique birationnelle .

A chaque élément de l'un des espaces correspond un seul élément de l'autre, exception faite pour les éléments singuliers qui ont chacun une infinité simple de correspondants.

Dans le cas particulier où l'équation A=oa une racine double annulant tous les mineurs de A, en supposant «22 633 — «33 è22 = o, on voit que, si (x) n'est pas singulier, on a toujours yK = o; on est ramené à une homographie singulière. Nous nous bornerons clans ce qui suit à étudier le cas le plus général : les cas particuliers s'en déduisent facilement.

Considérons un élément (£) de X : le lieu des éléments ( r) que le faisceau (/, g) fait correspondre à tous les éléments (x)

■2g6 LIVRE II. — LA GEOMETRIE TERNAIRE.

de (£) est une série quadratique d'équation

+ ( «33 bi i — «1 1 *« ) ÇiVsyi -H («11 *22 — «22 *1 1 ) U J'U'i = <>.

D'une façon générale, le premier membre de cette équation est le jacobien des formes/, g et (q\.r) par rapport aux (x). Cette série quadratique contient toujours 1rs éléments singuliers (y) du faisceau.

On trouve la même série en cherchant le lieu des éléments (y) qui correspondent à (ç) eu vertu des différentes réciprocités du faisceau; son équation tangentielle peu! donc s'écrire aussi

Par suite, y o définit le pôle par rapport à cette série de l'élément (■/)) qui contient les deux éléments ( y) qui correspondent à (5) en vertu de / et g : ainsi s'explique la réciprocité définie par l'invariant y.

Si l'élément (£) contient O,. par exemple, la série quadratique correspondante se décompose, el son élément double situé sur Û, peut être regardé comme correspondant à (£); réciproquement, à un élément de <->',, on peut faire correspondre l'élément I £) contenant O, el défini par

(«33*11— «II 633)73 («11*2-2— «22*11 '.'

On atténue de cette façon les effets de l'indétermination signalée plus haut dan-, la correspondance entre les (x) et les (y).

La même chose peut se répéter en intervertissant le rôle des espaces X cl V

281. La correspondance que nous éludions fait correspondre à une série /(#,, x2, a:3) = o, de degré p, une série /0 de l'espace ^ . dont l'équation s'obtient immédiatement, et de degré ■>./>.

Si la série / admet les éléments singuliers O,, Oa, 0:, comme multiples des degrés y,. q2, q% respectivement, la série /„ contient les éléments singuliers û^ les mêmes nombres de fois; si nous les supprimons, il nous reste une série /' qui correspond à / d'une façon proprement dite. Cette série /'est de degré ip qK q2—q%\ elle admet les éléments singuliers O',, O!,, 0'3 comme multiples