CHAPITRE X. - LE SYSTÈME DE DEUX FORMES BILIXÉ AIRES

respectivement des degrés/? — q2 — r]n P ~ rj3 — fJ ^ P — <h — 7^ et les éléments tangents à /' en 0'n par exemple, correspondent aux éléments communs à / et ill autres que 02 et 0:!.

Les éléments multiples de ces séries, non coïncidant avec les éléments singuliers du faisceau (/, g), se correspondent d'une façon univoque, et deux tels éléments correspondants ont leurs éléments tangents distribués de la même façon.

Si l'on se donne une série de seconde espèce dans X, on pourra trouver sa correspondante dans Y en cherchant Je lieu des éléments qui correspondent à ses divers éléments tangents, ou encore l'enveloppe des séries quadratiques qui correspondent à ses divers éléments.

On aurait des résultats analogues aux précédents en considérant le faisceau (co, '}).

II. — La correspondance quadratique birationnelle entre deux espaces coïncidants.

282. Si les espaces X et Y sont supposés identiques, il faut distinguer deux cas, suivant que les éléments (#) et (y) sont de même espèce ou non. Nous ne nous occuperons d'abord que du premier cas.

Si Ton fait les [y) égaux aux (#), f'el g deviennent/", et gt; les deux séries quadratiques ft et g{ déterminent en général un faisceau, et si nous supposons que ce faisceau n'otfre rien de particulier, on peut prendre pour éléments fondamentaux ceux de la suite triple conjuguée à la fois par rapport à fx et gt . On pourra alors écrire

/= «ll-^ljl— «22 ^.T 2 4- «33^3 73

- ar.i{xiyz — x-iy.1) -+- a31(cc3yi — ^iJKs) + «,2Oij2- -^aj'i I, g — ^ii^ri-r

On en déduit

O = a,., «33!; ,7)i-!- . . .-+- «I2«23(b'l3— b'Oi) — " • •

La forme "ktf-h^g conduit d'abord aux invariants <r/, d', e,

e\ y déjà connus; l'invariant i, défini au n° 267, relatif à cette

forme, est

tt}*-yXï*, + /X1X3-+-i'X»,

et l'on a les nouveaux invariants

Enfin un procédé connu donne encore les deux invariants

k - Ebijajg, k' = œtj§jt:

En se servant des formes canoniques, on a

d= ci] i ":," . ; -2ai|û e = I.bliaiia33 -4-2ètla5a ■-•>. X ,•?, , aî3 b

i = 3 a, i a,? «33 —San a / = 3 Zôn a22 a33 — S blt a|s — a2a,, a23è .

/ = I.btiaiia33 — Sèu<z|3 — 22.ailaiibi3, ....

Le faisceau u.icp -•;.,•!/ conduil aux mêmes invariants et à I invariant A défini précédemment.

Il est facile, avec ce qui précède, de former des systèmes fondamentaux d'invariants, el de définir les principaux éléments géométriques du -\ stème considéi é.

283. Si l'on envisage spécialement la correspondance quadradratique définie par le, faisceau | /'. g), les quatre éléments communs à y, et gK sont les seuls qui coïncident avec leurs correspondants.

Si ©n •!>,. y, sonl les séries quadratiques obtenues en faisant les (t,) égaux aux (ç) dans ©, ■!/. y. la série quadratique lieu des éléments «le seconde espèce qui contiennent leur correspondant dans la réciprocité a, y'-- L^, a pour équation

son enveloppe est la série quartique de seconde espèce

4<?i <J*i — XÏ = ° :

cette série est aussi le lieu des éléments (ç) qui sont tangents aux séries quadratiques correspondantes, d'après ce qui a été dit antérieurement.

La série quadratique équivalente à celle définie ci-dessus est