VI. — Les systèmes invariants

30. Les relations du n° 33 nous montrent que l'on peut généraliser la notion d'invariants et chercher un système invariant de n fonctions F(, F2, ..., F„, linéairement indépendantes et telles qu'après la transformation du système S on ait les relations

F*(e')=Sa*/F/(e), f*= I,a n) ,

les quantités o.m ne dépendant que des coefficients (),) de la substitution i.

Le déterminant des a^ est d'ailleurs différent de zéro, sans quoi les Fa ne seraient pas linéairement indépendants.

De plus, on peut supposer le système irréductible, c'est-à-dire non décomposable en systèmes partiels de même nature. Il est clair, en raisonnant comme quand il s'agit des invariants, que les fonctions d'un système invariant vérifient des équations de la forme

les u-^p étant des constantes numériques en nombre /\n'-\ et réciproquement.

Entre ces constantes existent d'ailleurs des relations qui résultent des relations qui lient entre elles les opérations A /y.

Si, comme nous le supposerons toujours, les fonctions F# d'un système invariant sont entières et homogènes séparément par rapport aux diverses séries de variables et de coefficients qui composent le système S, les différents degrés d'homogénéité sont les mêmes pour toutes les fonctions, que l'on peut aussi supposer isobariques par rapport à chaque indice. Dans ces conditions, il serait aisé de voir que tout système invariant peut être remplacé par un système analogue, linéairement équivalent, qui se ramène à l'ensemble des coefficients d'un invariant considéré comme fonction des variables d'un même couple, ou bien à plusieurs tels ensembles. Les systèmes de cette nature ont été étudiés ci-dessus.

L'évanouissement simultané des formes d'un système invariant correspond évidemment à l'existence accidentelle d'une propriété An. — I. 3

projective du système S, exprimée par l'existence d'un ensemble d'équations. La réciproque de cette proposition n'est vraie (pusous certaines réserves, suivant la façon dont on choisit cet ensemble d'équations : ce qui semble vrai, dans tous les cas, c'esi qu'à toute propriété projective de celle nature on peut faire correspondre au moins un système invariant.