CHAPITRE XI. — ÉTUDE DU RÉSEAU DE SÉRIES QUADRATIQUES. 3o

nous définissons ainsi une série cubique de première espèce, dite jacôbienne du réseau F et caylcyennc du réseau <ï>. De même, le jacobien II des formes cp, >l, ■/ définit une série cubique de deuxième espèce, jacôbienne du réseau <ï> et cajleyenne du réseau F.

La série P peut être interprétée de plusieurs façons, d'après son équation même :

i° P=o est le lieu des éléments (y) dont les polaires par rapport aux séries F ont un élément commun (z).

2" P = o est aussi le lieu des éléments (z) que nous venons de définir et les polaires de (z) contiennent toutes (y) : (y) et (z) sont dits correspondants sur P.

3" P= o est le lieu des éléments doubles des séries décomposables du réseau F.

4° Si une série <ï> se décompose en deux éléments (y) et (z), ces deux éléments sont conjugués par rapport à toutes les séries F, et par suite appartiennent à P et sont même correspondants sur P. P = o est donc aussi le lieu des éléments que représentent les séries décomposables du réseau <î>.

Les mêmes propriétés s'appliquent à la série II, avec les modifications nécessaires.

Donc encore :

5° ( r) et (z) étant correspondants sur P, ces deux éléments forment ensemble une série décomposable du réseau <ï>, et par suite le lieu de (yz) est la série II.

6" (y) et (z) étant correspondants, (yz) détermine, sur chaque série F, deux éléments conjugués harmoniques par rapport k(yz); donc II = o est le lieu des éléments (£) qui déterminent avec toutes les séries F des couples en involution ; (y) et (z) sont les éléments doubles de cette involution; les séries F contenant (y) ou (z) sont toutes tangentes à (yz). Par suite, P = o est le lieu des éléments (y) tels que toutes les séries F qui contiennent (y) y aient un même élément tangent, savoir (yz), (z) correspondant à (y).

|-° Si f, £", h sont trois séries fixes du réseau F, P = o est le lieu des éléments ayant même polaire par rapport kf et aux séries du faisceau («, A), quand celles-ci varient; et II = o est le lieu des éléments (£) contenant deux éléments communs à f et aux séries du faisceau (g, h).

3o4 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

Les mêmes propriétés ont lieu quand on intervertit le rôle des séries F et <ï>.

D'après Tune des propriétés ci-dessus, on peut écrire d'une nouvelle façon les équations des séries P et II. Si une série <î> se décompose, de sorte que

F-rf— !-*2'y "- \H/ - (Hl ■''!- ll-'-l :..'':,)• ?iri— Uj i- Î3JK3),

P = o est le lieu de (.r); donc L'équation P=o peut s'écrire

«Il

y-ii

•2 2:il

Vu

2ÏIS

( )w aurail de même II = o sous une forme analogue.

288. Soienl (y) el i ' - » I »■ u x éléments de I'. ici ci i;.', leurs

correspondants : (yy1) ■< en con m avec I* mi troisième élé-

niriii / qui appartient ;hi^m à (z: . In effet, i/» esl élément double pour une série I „ du réseau I : la polaire de (y) par rap porl a I „ esl i zt . el il'- même la polaire de i j i par rapporl à l\, esl i :• / / : mais ces deux polaires ^mii identiques, puisque (yy1 contient / i : donc aussi zz contient • t .

De même, i \ z i el i z ■ «mi ep commun avec P on même iroisième élémenl (u) : (t) el (u) soni correspondants, car la polaire de i / i par rapport à la série f \ <ln réseau F, d'élément double (y), coïncide avec celle de [y') et esl par suite (yz'); de même, la polaire de (t) par rapport à La série Fa du réseau F d'élément double (y') e>t i y'z) : l'élément | u I commun à ces deux polaires correspond à (/).

Si i )■ i se confond avec (y), el par suite (z1) avec ( z), on voit que les éléments tangents à P en deux éléments correspondants (y) et ( ; i ont en commun un élémenl (/) de P, correspondant au troisième élémenl | // i commun à (yz) et à P. De chaque couple d'éléments correspondants on peut donc en déduire facilement un autre.

Si (y) est inflcxionnel sur P. (t) se confond avec (y) et par suite (u) avec (s), de sorte que (yz) touche P en (z).