CHAPITRE XI. — ÉTUDE DU RÉSEAU DE SÉRIES QUADRATIQUES. 3o

(y) et (z) étant correspondants sur P, et (u) étant le troisième élément commun à (yz) et à P, la polaire de ( y) par rapport à la série F3 du réseau F qui admet (u) comme élément double contient (z): et par suite est (yz) : donc (yz) fait partie de cette série F3.

Pour déterminer l'élément tangent à II suivant (yz), considérons, comme au début de ce numéro, un second couple d'éléments correspondants (yf), (z') : soient (t) et (u) les éléments définis par les couples (yy1), (zzf) et (yz1), (y' z) ; soit, de plus, (u') l'élément commun à (yz) et (y'zf); les éléments (u) el(u') sont conjugués harmoniques par rapport à-(ty) el(tz), comme on sait. Cette propriété subsistant quand (y1) vient se confondre avec (y), et (m') devenant l'élément de contact cherché, on voit que celui-ci est le conjugué harmonique de (u) par rapport à (y) el (z).

Si (y) est inflexionnel sur P, (u) est confondu avec (z) et par suite (u') aussi. Donc la série tangenlielle de II, soit P', du degré six, est tangente à P suivant les neuf éléments (z) qui correspondent aux neuf éléments inflexionnels (y) de P, et n'a pas d'autre élément commun avec P; les éléments tangents communs sont d'ailleurs les éléments (yz). Une proposition analogue s'énoncerait, résultant de la considération de la série II et de la série tangenlielle II' de P. On peut aussi répéter tout ce qui précède en intervertissant le rôle des séries P et II. En particulier, on voit que les éléments (z), définis plus haut, appartiennent aux éléments inflexionnels de II, et que les éléments (yz) correspondent à ces éléments inflexionnels.

(y) et (z) étant correspondants et (u) ayant toujours la même signification que précédemment, soient (tj) et (y/) les éléments qui constituent la série du réseau d'élément double (y), (s) et (^') les éléments analogues relatifs à (z), (yz) et (£) les éléments analogues relatifs à (u) : (r^) a en commun avec P deux éléments autres que (y), correspondants et conjugués harmoniques par rapport à (yz) et (ç) par suite ; l'élément (%-r\) est donc tangent à II en (■/]). L'élément (£), tangent à P', a donc encore en commun avec P' les quatre éléments déterminés par (r,), (V)> (£)? (£')•

289. Le réseau F contient une infinité de faisceaux obtenus en assujettissant les séries F à contenir un élément (y) fixe; les trois An. — I. 20

autres éléments communs aux séries du faisceau déterminé par (y) sont dits associés à (y) : on obtient une correspondance spéciale et involutive, qui fait correspondre à chaque élément (y) chacun de ses trois associés.

Si (y) est quelconque, le faisceau correspondant ne présente aucune particularité; les éléments associés de (y) appartiennent aux trois éléments de II contenant (y) el sont conjugués harmoniques de (y) par rapport aux éléments correspondants de P appartenant à ces éléments. Si (y) appartient à P, les séries du faisceau sont tangentes eo (y) à (y~-)- en conservant les Dotations précédente-; des trois éléments associés à (y), l'un est (y) luimême, les deux autres appartiennent à I*'. Si (y) appartient à P', les séries du faisceau sont tangentes en un certain élément de P facile à déterminer d'après ce qui précède, el <|ui compte deux fois comme associé à (y). Si i ri esl commun à I' el P' et, par suite, correspond à un élémenl inflexionnel de P, les -cries du faisceau sont oseula triées en ( i ■ ), l'élément tangenl commun étanl (yz); le quatrième élémenl commun à ces séries est cuspidal sur P'; donc, si (y) esl cuspidal sur P . les séries du faisceau -ont encore osculatrices en un élément facile à déterminer.

Les mêmes remarq tes générales s'appliquent au réseau <I> avec les modifications convenables.

290. Nous venons d'expliquer les principales propriétés géométriques d'un réseau de séries quadratiques : mais nous avons supposé que ce réseau étail le plus général, et dans ce cas on s'assure facilement que l'une ou l'autre des séries P et II peut être considérée comme la plus générale de son espèce.

Nous allons maintenant étudier les cas particuliers qui peuvent se présenter : les propriétés générales énoncées précédemment s'appliquent encore à ces cas, avec des modifications évidentes, dont nous ne donnerons pas le détail.

Un calcul facile montre que si la série P a un élément multiple (#), ou bien cet élément est commun à toutes les séries F du réseau, ou bien il appartient à une série F représentant deux fois un élément (H), et, de plus, il existe au moins une série F tangente à (;) en (x). Les propositions réciproques sont vraie-.

Si (x) est commun à toutes les séries F, (x) compté deux fois