CHAPITRE XI. — ÉTUDIi DU RÉSEAU DE SÉRIES QUADRATIQUES. 3o

appartient au réseau <I> ; et réciproquement. De plus, on peut intervertir Je rôle des séries F et <I>.

Ceci posé, nous dirons d'un élément (x) qu'il est simplement singulier pour le réseau F, si toutes les séries F le contiennent sans y être tangentes; qu'il est doublement singulier, si toutes les séries F y sont tangentes, sans y être osculatrices ; qu'il est triplement singulier, si toutes les séries F y sont osculatrices; enfin qu'il est quadruplement singulier, s'il est singulier pour toutes les séries F. On ne peut faire d'autre hypothèse, car nous supposons essentiellement que les séries F ne forment pas un faisceau.

Quand (x) est singulier pour le réseau F, compté deux fois, il constitue une série du réseau <ï>. Si (x) est simplement singulier, les éléments communs à (x) et aux séries <ï> ne sont pas fixes tous les deux; si (x) est doublement singulier, ces éléments sont fixes, distincts ou confondus, suivant que les séries F n'ont pas un autre élément commun, ou en ont un; et dans ce dernier cas, les séries 4>, qui sont toutes tangentes à (x) en un même élément, ne sont pas osculatrices; si (x) est triplement singulier, les séries $ sont toutes tangentes à (x) en un même élément et sont osculatrices; enfin, si(.r) est quadruplement singulier, (x) fait partie de toutes les séries <ï>.

Ces propositions se démontrent sans peine à l'aide d'un calcul très simple; leurs réciproques sont vraies.

Etant donné le réseau F, on exprimera qu'il a un élément singulier en écrivant le résultant des formes y, g, h et l'égalant à zéro : c'est le déterminant des coefficients dans /', g, h et les dérivées partielles de P.

Pour exprimer que <ï> a un élément singulier, on écrira que la forme F peut se réduire à un carré parfait, c'est-à-dire que la forme tangentielle de F peut devenir identiquement nulle. Si, entre les six équations qui expriment ce fait, on élimine linéairement les six quantités Xj et )-Ay, on obtient encore, égalé à zéro, un déterminant du sixième ordre et du quatrième degré par rapport aux coefficients de chacune des formes /*, g, h.

291. L'énuméralion des différents cas particuliers possibles est maintenant facile à faire.

3o8 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

i° L'un des réseaux, F par exemple, a un élément simplement singulier (x).

La série P ne se décompose pas; elle admet (x) comme élément double, correspondant à lui-même ; les éléments tangents en .r, distincts, sont ceux qui constituent la série F d'élément multiple (x). La série II se compose de (x) et d'une série quadratique contenant les éléments tangents en (x) à P; la série tangentielle de cette série quadratique touche P en trois éléments, qui correspondent aux trois éléments inflexionnels de P.

La correspondance des éléments sur les séries Pet II est, comme dans les cas suivants, facile à reconnaître.

2° L'un <li> réseaux, F par exemple, a deux éléments simplement singuliers l x > el (x').

La série P se compose de (xx') el (rime série quadratique contenant (.'■') el (■/''): les éléments tangents (£) et (%) à cette série en (a?) el (x1) constituent avec (xx) les séries F admettant (x) et (./•' i comme éléments doubles.

La série FI se compose de (.r), (.r') et (££'). On observera dans ce cas que (x) el (.r') sont associés à un élément quelconque (y); le troisième élément associé à (y) est lié à (r) par une inversion définie par (H;') et la série quadratique qui fait partie de P.

De> remarques analogues pourront être répétées pour quelques-uns des cas suivants.

3° L'un des réseaux, F par exemple, a trois éléments simplement singuliers (nécessairement non alignés), (x), (x1) el (x"). La série P se compose de (x'x"), (.r"x), (xx'); la série II se compose de (x), (x'), (x").

4" Les réseaux F el 4> admettent chacun un élément simplement singulier; ces deux éléments (x) et(£) se contiennent nécessairement.

La série P se compose de (ç) cl d'une série quadratique tangente à (£) en (x); la série FI se compose de (x) et d'une série quadratique tangente à (x) el (£). La série tangentielle de l'une de ces séries quadratiques touche encore l'autre.

5" Le réseau F, par exemple, admet deux éléments simplement singuliers (x) el(x'), et le réseau 4> admet un élément doublement singulier, nécessairement (xx').