CHAPITRE XII. — LA SÉRIE CUBIQUE. 3ll
de (y), on peut écrire
i -+- (xyt' t) -+- (xyft) = o.
Si (y) appartient à f, sa seconde polaire est l'élément langent à/en (y).
L'enveloppe des secondes polaires de tous les éléments (y) est la hessienne h de/, série cubique, d'équation
6 lx\ i â*f
i ù\f I à\f G dxy ôxo G o.r{ dxs
G dx\dx^ G t^.r; (i Or.20.r:i
I d'/ I d\f 1 tJ2/
G cfcrf
6 dx\dx§ G Ox1u.r.
29i. La première polaire d'un élément (j') par rapport à /', d'équation a*= o, est une série quadratique.
Comme plus haut, les éléments (#) de cette polaire appartenant à (£) contenant (y), sont définis par
i -+- (xytt')-{- (xytt" ") = o.
La première polaire de (y) contient les éléments de contact des éléments tangents à y menés par (y). *
Si (x) appartient à la première polaire de (y), (y) appartient à la seconde polaire de (x).
Si (y) appartient à/, sa première polaire touche la deuxième et aussi y en (y) ; c'est aussi le lieu du conjugué harmonique de (y) par rapport aux deux autres éléments que détermine sur f chaque élément (E) contenant (y).
Les premières polaires de tous les éléments (y) forment un réseau de séries quadratiques auquel on peut appliquer tout ce qui a été dit au Chapitre précédent.
La jacobienne de ce réseau est la série hessienne h ; la cavlejenne est une série cubique de seconde espèce y, qui sera définie par l'équation générale
ia
o.ai-2
"il
ia
ëi
Mais on peut ajouter que la première polaire de (y) a un élément double (z), si (y) appartient lui-même à h\ la première polaire de (z) a elle-même (y) comme élément double et, par suite, (y) et (z) sont correspondants sur h dans le réseau formé des premières polaires,
La caylejenne y. qui est le lieu des éléments (yz), esl donc aussi la cajlevenne de/, comme nous l'avons définie généralement pour une série de degré quelconque, tandis que la steinérienne de/ coïncide avec sa hessienne.
Si (y) et (z) sont correspondants sur h. la polaire linéaire de l'un, (y), esl tangente à // en (:■).
Toutes ces propositions sont faciles à vérifier directement; la plupart d'entre elles résultent de propositions plus générales énoncées antérieurement.
Les premières polaires de tous les éléments (y) d'un même
élément : » U>i ni un faisceau, et réciproquement.
Les séries décomposables de ce faisceau correspondent aux éléments communs à l c ) et à h ; elles sont (\m\v distinctes si (£) ne touche pas // ; les séries du faisceau sont simplement tangentes entre elles, si il) louelie A. sans être un élément tangenl slationnaire; elles sont osculatrices, si cette dernière condition est réalisée. Quand les séries du faisceau ><>nt tangentes entre elles, leur élément de contact (z) appartient à //, et leur élément langent
commun est (yz), (y) corresj lanl à (s) et étant l'élément de
contact de i ; ) et (h ).
29o. Considérons le cas où (y) est commun à / et à A, c'està-dire inflexionnel puni' /; la polaire quadratique de (y) se compose alors de l'élément langent (y, ) à/en (y), et d'un élément (y,'), qui, à cause de ses propriétés évidentes d'après ce qu'on a dit plus liant, est dit polaire harmonique de (y). Cette polaire contient les éléments de contact des trois éléments tangents à/autres que (y,) qui contiennent (y). L'élément (r,?)') ou (z) correspond à (y) sur h] mais l'élément tangent à h en (z) est (-ri) : alors, d'après les propriétés des réseaux, on en conclut que les éléments inflexionnels (y) de/sont aussi inflexionnels pour h ; que h touche les éléments tangents stalionnaires (y;) de / en des éléments (z) correspondant aux (y); que ces éléments inflexionnels (yj) appar-
