II. — Les éléments inflexionnels et la forme canonique

297. Cherchons une forme canonique pour y, dans le cas <>ù cette série n'a pas d'élément cuspidal.

Supposons d'abord que nous prenions pour éléments fondamentaux 02 et 03 deux, éléments inflexionnels de f, et pour éléments 02 et ^3 les éléments tangents correspondants. On aura alors

f = <nx\ -t- 'ix^x-.^iaxi -h «03^2 + «32^3)-

Ceci nous montre que le troisième élément commun à f et à Q( est aussi inflexionnel, l'élément tangent correspondant étant

iaxi-\- a23 x-2 -4- «30 x-i = o.

Les neuf éléments inflexionnels sont donc alignés trois par trois sur douze éléments de seconde espèce, appelés axes inflexionnels, et chacun d'eux contient quatre de ces axes.

Toutefois si y a un élément double, il n'y a que trois éléments inflexionnels, alignés sur un seul axe.

Les polaires harmoniques de 02 et 03 sont

ïaXy-h iai3X-2+ rt32^3 = 0,

laxi-'r- cLîzXi -+- la-^Xz = o ; prenons-les pour nouveaux éléments fondamentaux iï3 et û'., , ù\

coïncidant avec 0,. Ceci est possible, car a2z et a32 sont certainement non nuls clans les hypothèses faites; f prend alors la forme

A r',3 + Bx\ i a y — x'% x'z -+- x* ) -+- C(a?j + jt'3 )(ar^ -2j;)(j-;- ■)/', ) = o.

Mais si maintenant nous remarquons que x"} — x'2 x'3 -f- x'£ est précisément le hessien de la forme cubique binaire

r'2 — x'3 )(^2— '■'. i p3 — 2 ''o li

on voit que si nous réduisons celle forme à la forme canonique, à l'aide d'un changement de variables fait sur x'.2 et .r'3 seulement, y prend Qnalemenl la forme suivante, où les accents ont été sup-

primés :

/ = <(\-r\ ■+■ a2xl -+- a3xl -f- lu/./-, /,r3.

Telle est la forme canonique que nous emploierons presque exclusif ement.

2il<S. La première polaire de ( r) a pour équation

* » 1 1 \<>lt que le réseau ainsi défini oe peut avoir d'élément singulier que si lune des quantités <it est nulle, ou bien si l'on a ai a2«3 -+- 8a3 = o. Mais ce dernier cas esl à écarter, car alors/ se décompose en trois facteurs linéaires, ce que nous ne supposons pas.

La forme canonique trouvée ne correspond donc à une série à élément double que si l'une des quantités a/, <tK par exemple, esl nulle. O, est alors l'élément double, et Û, e^t l'axe inflexionnel ; Q2 et il j sont les éléments tangents à f en 0( ; 0> et 03 sont les deux éléments qui déterminent avec les trois éléments inflexionuels de f sur Cit un rapport équianharmonique. Les polaires harmoniques contiennent 0( et, sur Q,, les éléments conjugués harmoniques de l'un (\c< éléments inflexionnels par rapport aux deux autres. La réduction à la forme canonique ne peut se faire (pie d'une seule façon.

299. Occupons-nous maintenant du cas général. Les éléments de référence Q/ jouent évidemment tous les trois le même rôle; ce sont des axes inllcxionnels. Il est clair que les