CHAPITRE XII. — LA SÉRIE CUBIQUE. 3l

douze axes inflexionnels forment quatre telles suites triples proprement dites, et que la réduction à la forme canonique est par suite possible de quatre façons différentes.

Les éléments inflexionnels sont distribués trois par trois sur les éléments Q,. Voici le Tableau de leurs coordonnées, en appelant co une racine cubique imaginaire de l'unité, et prenant pour nouvelles coordonnées les quantités x\ définies par les relations atx\ = ./ \

ii : o,

co2;

Les axes inflexionnels, rangés par suites triples, sont alors

(LJ-Jt) : x'2 = o;

( l3 14 18 ) : x\ -+- oix'^-h M-x'i = o:

xi = o;

(I1I4I7) : w^ (Uhh): r\ (I,I6I9) : x\

(itl6l8) {hhh) (I3I5I7)

ioza?

or.

On remarquera que les axes inflexionnels correspondent au: termes du déterminant

et, en outre, aux produits obtenus en prenant trois termes dans une même ligne horizontale ou verticale. Les quatre suites de trois axes correspondent aux quatre groupes de trois termes obtenus par l'un de ces procédés, les termes du déterminant étant partagés en deux groupes, suivant leur signe.

Les Tableaux précédents conduisent à de nombreuses propositions qu'il est inutile d'énoncer explicitement : ils mettent en évidence en particulier les substitutions que l'on doit faire pour passer d'une forme canonique à une autre.

Un élément inflexionnel appartenant à Q, -a pour coordonnées

o, — j/rt;î, \< a-2 ; sa polaire harmonique est donc

et contient O,

Les polaires harmoniques, qui jouent par rapport à la ca\leyenne le même rôle que les éléments inflexionnels par rapport à la hessienne, sont donc alignées trois par trois avec les éléments tels que O,; chacune d'elles contient quatre de ces douze éléments, analogues aux axes inflexionnels.

Si l'on considère les formes cubiques en .r2 cl .r;l par exemple, qui définissent, sur û<, les éléments fondamentaux, les éléments inflexionnels, et enfin les polaires harmoniques des précédents, la première de ces formes est, à des facteurs près, le hessien de chacune des deux autres, et chacune de ces dernières peut être regardée comme l'invariant cubique de L'autre.