VII. Les invariants multiples et les combinants

37. Etant donné un système S, on peut concevoir que Ton partage les différentes variables qui figurent dans ce système et dans les formes de ce système en plusieurs groupes, et que les variables d'un même groupe soient transformées par une substilulion linéaire o-, que l'on ne suppose pas rester la même quand on passe d'un groupe à l'autre.

Pour cet ensemble de transformations, il est facile de définir deinvariants absolus h dis invariants ordinaires, que nous appellerons invariants multiples; ceux-ci se reproduisent après la transformation, multipliés par des puissances des déterminants des différentes substitutions employées. Leur nombre esl facile à déterminer, ainsi que celui «1rs invariants absolus correspondants;

les systè - complets correspondants d'équations aux dérivées

partielles s'écrivenl immédiatement.

Sans insister sur cette étude directe, nous remarquerons seulement que les invariants multiples doivent être des invariants pour les transformations particulières qui ne changent que les

variables d'un seul groupe. Par suite si (z), (l > (Ç), ...

sont les autres variables, un invariant multiple sera de la forme

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les fonctions F,., , ; . étant elles-mêmes des invariants pour le système obtenu en prenant ensemble les formes qui sont les coefficients des formes données ordonnées par rapport aux variables (^), (£), . . . . 1 et les autres variables.

Réciproquement, il est clair que si une fonction vérifie ces conditions pour chaque groupe, on pourra la regarder comme un invariant multiple du système donné.