III. — Les invariants fondamentaux

300. Nous allons maintenant calculer les in\.ii'i,iu[s les plus intéressants du système formé par f el les variables (jo) et (£).

Huit de ces invariants sont indépendants.

Après la forme /"elle-même que nous écrivons, sous la forme canonique,

nous avons d'abord la hessienne h et la cajleyenne y, déjà définies en général. Ici

h = — a2(alx'f-i- a%x\ ■+■ a3x\) a3-\- 2a3)xlxix3,

■y = a(a2a3£\-i a3a,^l-t- a^^) -4- ( ax ,i .,,,,— 4 a3 )£, ;,;...

On voit, comme on devait s'v attendre d'après ce qui a été dit plus haut, que les formes h et y sont elles-mêmes réduites à la forme canonique, et l'on vérifie que les éléments inflexionnels de h coïncident avec ceux de f\ les polaires harmoniques de ces éléments sont les mêmes pour /' et pour //, et sont les éléments inflexionnels de y.

Si /' a un élément double en O,, il en est de même de A, qui ne se décompose pas, et y se compose de O, et d'une série quadratique d'équation

"-".;i — i"Jb;3 = 0.

Si/ n'a pas d'élément double, h peut en avoir, d'après ce qu'on a dit plus haut, si a = o, ou si a , <t><< .-, — «:i = o ; dans chacun de