CHAPITRE XII. — LA SERIE CUBIQUE

Si donc — est l'un des rapports anharmoniques cherchés, on a

(?i + p2)2(p.-2o2r-(o2-o.p,^ = .Kp?-?i?o + ?I? i7?ï?i(?l-?,y-

Le rapport anharmoniqne cherché est donc constant, quel que soit l'élément (y) sur/; il correspond à l'invariant ahsolu — • Il est équianharmonique si i= o; il est harmonique si y = o : telle est la signification simple de ces conditions invariantes. Si 64j:iH-yJ= o, deux des éléments tangents considérés se confondent, en allant contenir l'élément double.

Ce théorème pourra être appliqué aux séries cubiques rencontrées dans l'étude d'un réseau de séries quadratiques, et conduira à de nouvelles propriétés.

En voici encore une conséquence immédiate : si l'on considère les deux groupes de quatre éléments tangents menés à/ par deux éléments (y) et (z) de/, les seize éléments communs aux éléments de ces deux groupes appartiennent quatre par quatre à quatre séries quadratiques contenant (y) et (z).

304. La première polaire de (y) est ax*y = Jt («i3"î -+- ^ax2x3) -+• y%{a.ix\-\- v.ax3x{) -Jrys(ct3x\-+- lax^x^).

L'équation ax^r= o, où l'on suppose les (y) ou les (x) donnée, est le lieu des éléments (x) ou ( y) dont la seconde ou la première polaire contient (y) ou (x).

Prenons la forme langentielle de ax°-y par rapport aux (x); c'est un invariant à deux séries de variables très intéressant

P(y, c ) = ( a2a3y2y3 — a* y \ )\\ -H. . .-*- ia( ay%y% — a,y\)\, £, + . . . .

Si(jK) est donné, la série/? (y, £) = o est le lieu des éléments (£) qui touchent la première polaire de (y); le discriminant de cette série est h-(y) à un facteur numérique près; elle touche (y) si l'on a f(y)h(y) = o; d'ailleurs si h(y) = o, elle représente deux fois l'élément (z) correspondant à (y) sur h.

Supposons maintenant (£) donné ; l'équation p(y, ç) = o définit une série quadratique en (y). C'est le lieu des éléments dont la première polaire touche (£); c'est aussi l'enveloppe des secondes

polaires des différents éléments de (H); c'est aussi le lieu des pôles de (£) par rapport aux premières polaires des différents éléments de (£), car, en cherchant ce lieu, on est conduit aux mêmes calculs que précédemment, à cause de l'identité des dérivées partielles de ax'y et axf- par rapport aux (x) et aux ( y). On démontre aisément, d'après les propriétés des polaires et celles du hessien d'une forme cubique binaire, que les éléments communs à (£) et à la série p(y, £) = ° forment un rapport équianharmonique avec les éléments communs à (£) et à /.

De plus, il est visible que la série p(y, £) = o touche la hessienne h en trois élémeuts qui correspondent aux éléments communs à (^ el h, puisqu'elle ue peut avoir avec h d'autres éléments communs que ceux dont la première polaire a un élément double appartenant à ( ;).

Si les éléments (y), (z), (t) sont alignés el appartiennent à/, et s',! en est de même de (y), (:■'), (/'); si. de plus. («) et (V) sont les éléments communs à la première polaire de (y) el à (zl) et (z't')i la propriété de cette polaire, quand (y) appartient à /, montre; tout de suite que {zz'), (ttf), (un1) sont trois élémeuts alignés en (e) par exemple, et que les deux premiers sont conjugués harmoniques par rapport au troisième el à (re). Cette propriété subsiste si les éléments ( Zt) el(z't') viennent à se confondre et fournil un théorème facile à énoncer. Appliquant ce théorème el regardant/? (y, £) = o comme le lieu des pôles de (;) par rapport aux premières polaires des éléments de (£), et aussi comme l'enveloppe îles secondes polaires de ces éléments, on voit que cette série louche les éléments tangents (t), (t'), (t") à / suivant les éléments communs (/), (/'), (/") à/et a (£), et que l'élément de contact avec (-), par exemple, esl conjugué harmonique de (l) par rapport à (t') et ('")•

Le discrimina ni de /?(,)', ç) par rapport aux (y) est y2(£) : d'ailleurs, si (£) appartient à la cayleyenne y, (£) constitue avec un autre élément (tj) la première polaire d'un élémenl (c), que contiendra la seconde polaire de tout élément de (ç). La condition pour que l'élément (£) touche la série p{y, £) = o est évidemment <p(£ ) = o.