CHAPITRE XII. — LA SÉRIE CUBIQUE

forme analogue q(y, £) relative à h ; ees deux formes quadratiques

ont un invariant simultané

si, dans cet invariant, on fait les (y) égaux aux (#), on obtient un invariant du sixième degré par rapport aux {x), plus simple que les formes tangenlielles de y et s.

Si l'on appelle A' cet invariant, on trouve à un facteur près

k = 3 a3 ( ai a2 «3 ■+- 2a3)(af a?f -f- ai^| + a§a?|)

+ [6a3(«ia2«3+2«3)-(aifl2fl3+ i<a'iy2](aîa3xl x\ -+- a3 a^x\x\ -f- ava%x\x\ — aj(a,ix\ -t- a*x\ -t- a3x\ )xlxix-i — 3a2y x\ x\x\.

Pour définir complètement A, ajoutons que l'on a

306. On peut choisir comme invariants fondamentaux i, j , f, h, A, y, s, cp.

Pour abréger l'écriture, soit

A = a^Oia-i ;

l = «j x] -f- a2 x \ -+- a3 x\ , m = a-ya^x'i x\ -+- a3 aj x\ x\ ■+- at a2x\ x\ , n = Xi Xi Xz ;

X = a-iCi;^] ■+- a.j«i £| + ai«2?|,

Elglb;

on a

f — l -\- bail,

h = — «2/ + (A-+-2a3)rc,

A = 3 a3 f A -f- 2 a3 ) Z2 — ajln — 3 a2/"2 — ( A H- 8 a3 )» m ;

£ = (A — îo«3)X — 6«2(5A-i- Ja*)v,

cp== X2— 24«2Xv— 2^a(A -i-2«:i)v2— 4(A -r 8r/'< [X. An. — I. 3»

3i2 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

A ces invariants nous pouvons joindre les jacobiens r el p des formes/, h, k et y, s, cp. On a exactement

r = — - (A + Sa* )»| aix; — asa?| )(a3;r| — alx\){aix\ — a2 p=|(A-F8aS)3(rt,|3:a3^ , C«a€! — «i 61 ) («i^l -a2|ï).

Donc les équations /• = o et s = o représentent les polaires harmoniques des éléments inllexionnels de/*, et ces éléments euxmêmes.

Les carrés de /• il (- s'expriment aisément en fonction des in\ariants fondamentaux; en effet, on peut regarder ii\.r\. a-,.r'., a$x\ comme les racines de l'équation

el /. m, n s'expriment ;'i L'aide «le /', A. /, .

De même a2a:i ;•'. a3a( ;:J, a , a2 ; ! sont racines «le l'équation

Nous reviendrons d'ailleurs sur celle question un peu plus loin.

307. Les séries y, //. y. i mènent, par des procédés analogues aux précédents, à bien d'autres invariants qui s'expriment à l'aide des invariants fondamentaux; c'est ainsi que l'on peut chercher le lieu des éléments dont la polaire linéaire par rapport à /ou h est tangente à la polaire quadratique du même élément par rapport à h ouf, etc.

Cherchons encore, pour montrer l'usage des invariants, l'équation de- éléments tangents stationnaires (tj) à /'.

On trouve sans peine, en se servant des formules canoniques, (pu- ceux de ces éléments qui correspondent aux éléments inllexionnels pour lesquels ,r, = o, ont pour équation

L'équation cherchée est donc

,, A-t-8a3.,, (A-t-8a3)*, ix-S^»1