IV. — La réduction à la forme canonique

308. La connaissance des invariants fondamentaux d'une forme cubique f permet sa réduction à la forme canonique d'une façon simple.

Nous garderons les notations précédentes pour la forme canonique, et nous prendrons les mêmes lettres affectées de l'indice zéro pour désigner les invariants correspondants, tels que le calcul les donne directement en partant de la forme donnée f0.

On a d'abord

il a3(A-aM3

j % (A2-2oAa:t-8a«)'!

d'où, posant

l'équation en p

jl (p'-20p — 8)2

Faisant =4^ = J2, et prenant arbitrairement la détermination de J,

une fois pour toutes, puis remplaçant o par i -h --;, on est amené à l'équation biquadratique

iy X* -+- i8X2 -+- J X — i = o.

Si V et y7 sont les invariants du premier membre de cette équation considéré comme forme binaire, après rétablissement de l'homogénéité, on a

3a 4 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

la résolution est alors immédiate, et donne

w étant une racine cubique imaginaire de l'unité, et les trois radicaux carrés ayant pour produit — J.

Les formules canoniques donnenl

(A + aa»)/- 6ah a\f -+- h

«:fi9.A +«3) /»— a(A + 2a»)A + 3as/i*- A

de plus, si o est le déterminant de la substitution qui permet de passer des (,z(0)) aux (jc1), on a

/ = /«, h = o2/«0) A = frko, i = 8*i0, j = o6/»;

on en tire

o- — a- t—s- i et, par suite,

IÀM-i CX /„.l

. , X(X«+i) A , i'oJ . V

X*(3X»H-a) ... X(3X«-hi) i„J .. .