CHAPITRE 1. — INVARIANTS DES SYSTÈMES BINAIRES

Ajoutons que les invariants multiples sont en particulier des invariants du système S, au sens ordinaire du mot.

38. Soit un système S comprenant en particulier deux formes semblables /et g, et soient 9, et 82 deux variables qui ne figurent pas dans ce système. Remplaçons les formes y et g par la forme 0,/-i- B2£'; et, dans le nouveau système ainsi formé, considérons les variables comme réparties en deux groupes dont l'un ne contient que les (9).

Si F est un invariant multiple de ce système, indépendant des (G), c'est un invariant particulier du système S, jouissant de la propriété de se reproduire à une puissance près du déterminant o'= a,, [JUo • — u-io|JU), quand on remplace les formes f et g par les combinaisons linéaires p.t ,/+ u.,2 g, \K2if-\~ \>-22g, puisque ceci revient à faire sur les (8) une substitution linéaire de déterminant 8'.

Nous dirons qu'un tel invariant est un combinant du système S, relativement aux formes f et g. Il est clair que tout combinant peut être obtenu comme nous venons de le dire.

La notion d'invariants multiples s'étend immédiatement au cas où l'on considérerait des formes renfermant des variables d'ordre différent, les unes binaires, les autres ternaires, par exemple. Bien que nous ne nous occupions actuellement que de variables binaires, ce fait est intuitif, et ce que nous dirons par la suite sur les variables ternaires et quaternaires nous permet d'affirmer que rien ne sera changé aux considérations qui précèdent, quand on envisage le cas le plus général.

En particulier, la notion de combinant s'étend d'elle-même, si le système S comprend p formes binaires /*,, f.2, /',, . . . semblables; les invariants multiples, indépendants des (8), du système obtenu en remplaçant les formes /} par Q , y, -(— fi-2/-2 + §*/* + • • • • seront des combinants du système S par rapport aux formes //, c'est-à-dire jouiront de la propriété de se reproduire à une puissance près du déterminant o' des coefficients ut-y, si Ton remplace dans le système donné les formes f) par des combinaisons linéaires, Eu/y/), de ces formes; et réciproquement.

39. Un combinant du système S par rapport à deux formes semblables f et g de ce système est un invariant ordinaire du

système qui, lorsqu'on fait sur les coefficients correspondants de / et g une même substitution linéaire, se reproduit, à une puissance près du déterminant de cette substitution. Il est alors facile de généraliser cette notion, en supposant que les deux formes f et g ne sont pas semblables. Si, par exemple, on a f= axp, g = bâti et si, p étant supérieur à y. // = r.,/ ? désigne une forme à coefficients arbitraires, on peut chercher les invariants du système $ qui, lorsqu'on remplace les coefficients de/' par ceux de \f — //g. X étant une arbitraire, se reproduisent à un facteur près (une puissance de X évidemment). Ces invariants, faciles à définir par un système complet d'équations aux dérivées partielles, sont les combinants du système S par rapport kf et g\ leur nombre serait aisé à évaluer.

Ce que nous venons < l<- dire sur un cas particulier s'étendrait s;ins peine au cas plus général dans lequel <>n chercherait le> combinants du système S par rapport à plusieurs formes de ce système.