CHAPITRE XU. — LA SÉRIE CUBIQUE

faisceau ( /', //) il y a quatre séries qui se décomposent en trois éléments : ce sont celles qui sont formées par les quatre suites triples d'éléments inflcxionnels ; et ces quatre séries ont un rapport équianharmonique, c'est-à-dire que les quatre axes inflexionnels, qui contiennent un même élément inflexionnel, ont un tel rapport. Il y a aussi quatre séries équianharmoniques, c'est-à-dire pour lesquelles l'invariant i est nul, et de même six séries harmoniques : leurs éléments tangents en un élément inflexionnel sont faciles à définir. Chaque série du faisceau est la hessienne de trois autres; par exemple,/' est la hessienne des trois séries définies par

en particulier de h si y' = o.

De même, chaque série du faisceau (y, s) est la cayleyenne de trois séries du faisceau (f, h).

Si j = o, les séries h et y sont harmoniques comme/".

Si î== o, les formules précédentes deviennent illusoires, mais il est facile de les transformer de façon qu'il n'en soit plus ainsi : dans ce cas, la forme f peut se réduire à une somme de trois cubes; h et y se décomposent.

311. Etant donné un réseau de séries quadratiques, on peut le regarder, en général, comme formé des polaires quadratiques des éléments [y) par rapport à une certaine série cubique f: car, pour déterminer cette série f, on a autant d'équations du premier degré que d'inconnues. On peut facilement obtenir cette série f de la façon suivante : on calcule d'abord la jacobienne et la cayleyenne du réseau par les formules précises données antérieurement; ce seront la hessienne h et la cayleyenne y de/'; leurs invariants donnent

"sT

Ces formules donnent i3 et j surabondamment; enfin, on calculera la ca\leyenne g de y, ou la hessienne hh de h, et l'on aura

Ceci tombe en défaut quand la quantité i calculée directement est nulle; en effet, dans ce cas, le réseau conjugué du réseau donné admet un élément double, et les séries considérées ne peuvent être regardées, en général, comme les polaires quadratiques relatives à une série cubique /. Mais nous laisserons ici de côté l'étude des divers cas particuliers.

Si l'on connaît la jacobienne ou la cayleyenne seulement d'un réseau, il y a trois réseaux correspondants, puisque la série connue est hessienne ou cayleyenne pour trois séries.

Si l'on connaît la jacobienne et la cayleyenne, mais sans connaître le réseau, il faudra multiplier le premier membre de la série cayleyenne, par exemple, par un facteur p inconnu, afin d'être ramené au cas précédent. Le fait que les valeurs de i/n ?y, JhiJ-x déterminent j et i* permettra de calculer ce facteur, ou au moins son carre; pour avoir son signe, on pourra se servir de l'identité

- Ihh-'hô-

Ep particulier, on pourra ain-i chercher la série cubique dont les premières polaires forment le réseau conjugué du réseau des premières polaires de/, et l'on trouvera pour son équation

Vï— i'': = °-