CHAPITRE XII. — LA SERIE CUBIQUE

tailler, aux séries particulières douées d'un élément multiple, ou séries rationnelles.

Nous allons insister sur les propriétés particulières à ces séries. Si d'abord il s'agit d'une série cubique avec élément double ordinaire, à éléments tangents distincts, on peut lui appliquer la forme canonique générale, avec a, = o par exemple. Si donc

on aura

f= a%x\ -+- a3x\ -T- 6aXiXzx3, h = — a2(a2a?|H- «3^3) -I- ^azXiX%x$,

s = — io«3«2«3ç? — '^4«5;i;2;:i, i = — a* , j = — ■ 8a6.

La forme canonique est possible d'une seule façon.

Pour déterminer l'élément double, on remarquera la relation

/ est la bessienne d'une seule autre série cubique et, par suite, la jacobienne d'un seul réseau, etc.

Supposons maintenant que /soit une série à élément cuspidal. Une forme canonique immédiate est

/' = a 1 x\ -+- 3 aiix\ x3 ;

03 est l'élément cuspidal, avec Q2 comme élément langent; 02 est l'élément inflexionnel, avec ù3 comme élément tangent. On a ici

h = — ai af 3 07^1, y = «i«23 h Mz = <xa\ a\ 3 ç;] ; 1 = 0, j = o.

/ n'est la bessienne d'aucune série et, par suite, la jacobienne d'aucun réseau, etc.

321. D'après ce qui précède, 64i3+/2=o est ^a condition pour que /ait un élément multiple; i = o et y = o sont les deux conditions pour que cet élément multiple soit cuspidal.

Donnons encore les conditions invariantes qui expriment que la série /se décompose d'une façon déterminée.

Si /se compose d'une série quadratique et d'une série linéaire

uon tangentes, la forme canonique générale subsiste avec

a2 = a3 = o, par exemple. On a

f = «,.rf -f- G'/ /'!';> /\j. h = — a1 a yx\ -+- aa3 .rix*^ ;

ï = — av, / = — 8a6.

L'invariant 3/Y — {te, ou plutôt 0, ou encore /•, est nul identiquement.

Si y se compose d'une série quadratique et d'une série linéaire tangentes, on peut prendre

f = "$Cl*\X\X\-\- 0<l\:i T-JT3,

et Ton a

h = — " i\ "\ .;■' ;• *,' = , alian? t = o, / = o.

L'invariant s est nul identiquement.

Si f se décompose en trois éléments de seconde espèce non alignés, on peut encore appliquer la forme canonique générale :

L'invariant // >.\ih. ou plutôt le jacobien de/. A et(£|.r), est nul identiquemenl .

Si y" se décompose en trois éléments alignés, h est nul identiquement, comme on le vérifie sans j m • i n e ; si deux de ces éléments coïncident, es est nul identiquemenl : s'ils coïncident tous trois, la l"ime/?(j', ç), définie antérieurement, est nulle identiquement.

322. Ncin^ allons maintenant étudier la série cubique rationnelle définie par des formules de la forme

les fi étant des formes cubiques binaires par rapport aux (À); cette étude revient à celle de la forme

S = Sj/iCX,, Xi) + \lfl{\U \ ) + S»/l(Xl, Ào ).

Nous emploierons tout de suite une forme canonique de celte représentation, fournie par les formes canoniques du n° 320.