I. — Les Polaires

40. Une polaire quelconque d'une forme d'un système S ou d'un invariant de ce système, prise par rapport à des variables remplacées par des variables de même espèce, ou par rapport à des coefficients remplacés par ceux d'une forme semblable appartenant au système, est encore un invariant de ce système.

Ceci résulte de la définition même des polaires; si en effet F est un invariant du système, contenant par exemple les variables (#) ou les coefficients d'une forme /du système, et si l'on y remplace les xi par les xi -+- À^/, ou 'es coefficients de/par ceux de/+ \g, g étant une forme du système semblable à/, la fonction F ne cessera évidemment pas d'être un invariant, et cela, quelle que soit l'arbitraire À. Tous les coefficients du développement de F suivant les puissances de A jouiront donc de la même propriété, ce qui démontre le théorème, au moins quand il s'agit de polaires simples : il s'étend immédiatement aux polaires multiples.

Il est évident d'ailleurs que les polaires d'un invariant F d'ordre |x sont elles-mêmes des invariants d'ordre <*.

En combinant ce théorème avec celui du n° 32, on voit que les invariants des polaires des formes ou des invariants d'un système sont eux-mêmes des invariants de ce système; on voit aussi que l'on peut prendre la polaire d'un invariant par rapport aux coefficients d'une forme/, remplacés par ceux d'une forme g semblable, qui est elle-même un invariant du système, et obtenir encore un invariant du système; mais, dans ce dernier cas, l'ordre de l'invariant ne se conserve pas.

II. — Les invariants comme combinaisons de systèmes invariants.

41. Soit un système invariant composé de n fonctions F,, Fo, . . . , F,i, vérifiant Jes relations

¥'k=lakl¥h

où ¥'k désigne la même fonction des éléments transformés (<?') que F* des éléments primitifs (e), et où les oc*; ne dépendent que des coefficients (À) de la substitution.

Un second système invariant, composé de n fonctions G(, G2, • . • , G„, est de même espèce que le premier si l'on a, \k étant un nombre quelconque.

un système invariant, composé de n fonctions <Pi} <F. «h,,.

est dit, au contraire, d'espèce opposée nu premier, >i l'on a, \x étant quelconque,

Si deux systèmes invariants sont tous deux de même espèce, ou lous deux d'espèce opposée par rapport à un troisième, ils sont eux-mêmes de même espèce; ils sont, au contraire, d'espèce opposée si l'un est de même espèce, l'autre d'espèce opposée par rapport à un troisième.

Si n systèmes invariants de n fonctions, tels que le système (F), sont de même espèce, le déterminant des //- fonctions de ce système est évidemment un invariant, puisque le déterminant des F' est égal à celui des F multiplié par celui des y./,/, à une puissance de o près; ceci montre, en particulier, que le déterminant des y.k/ est toujours une puissance de 8.

Si (F) et (<I>) sont deux systèmes invariants d'espèce opposée. il est clair aussi que la fonction i'F/,<ï>* est un invariant. Réciproquement, si l'on met un invariant sous la forme £F*$#, les F et les <ï> dépendant d'éléments différents, et si les F sont linéairement indépendants, ainsi que les <1>, les F et les 4> forment deux systèmes invariants, nécessairement d'espèce opposée. En effet, la relation 2F^^. = o!xSFA <!>/;., où u. est l'ordre de l'invariant considéré, fournit, quand on y remplace les <b'A par leurs valeurs en